3.3.4 两条平行直线间的距离第一课时教学设计

张喜林制

3.3.3点到直线的距离

【教学目标】

1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离. 2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 【重点难点】

教学重点:点到直线距离公式的推导和应用. 教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.

【教学过程】

导入新课

思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题. 思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0).

图1

新知探究

提出问题

①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么? ②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？

③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：

①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x0=0,y0=0时，d=|C|AB22；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=|Ax0C|AB22；

(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=|By0C|AB22.

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观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d=? 学生应能得到猜想：d=|Ax0By0C|AB22. 启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理) 证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(C1,0). A|A(∴P′N=(*) ∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0. 代入(*)得|P′N|=C1)C||CC1|AA2B2A2B2.

|CAx0By0|AB22

即d=|Ax0By0C|AB22,.

②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=|C1C2|AB22. 证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=|Ax0By0C|AB22. 又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=|C1C2|AB22. 讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=|Ax0By0C|AB22. ②当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=应用示例

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|C1C2|AB22.

例1

求点P0(-1，2)到下列直线的距离：

(1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 解:(1)根据点到直线的距离公式得d=|2(1)210|212210525. (2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|25-(-1)|=. 33点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式. 变式训练

点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值. 解:|3a462|3242=4|3a-6|=20a=20或a=46. 3例2

已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 解:设AB边上的高为h，则S△ABC=22|AB|=(31)(13)22，

1|AB|·h. 2AB边上的高h就是点C到AB的距离. AB边所在的直线方程为y3x1,即x+y-4=0. 1331点C到x+y-4=0的距离为h=|104|112252，

因此，S△ABC=15×22=5. 22点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练

求过点A(-1,2),且与原点的距离等于2的直线方程. 2解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0. 例3

求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离. 解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=|23708|22(7)214531453. 53点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练

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求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离. 答案：

解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-则直线MO′的方程为y-3=23. 1342,)，

5513x. 4811,)即为所求，

155直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=185. 5课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离. 2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用. 当堂检测

导学案当堂检测

【板书设计】

一、点到直线距离公式

二、例题

例1 变式1 例2 变式2 【作业布置】

课本习题3.3

A组9、10；B组2、4及导学案课后练习与提高

3.3.3

点到直线的距离

课前预习学案

一、预习目标

让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离

二、学习过程

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预习教材P117~ P119，找出疑惑之处

问题1．已知平面上两点A(0,3),B(2,1)，则AB的中点坐标为

，AB间的长度为

.

问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0,y0)，直线l的方程是l:AxByC0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?

5分钟训练

1.点（0，5）到直线y=2x的距离是(

) A.535

B.5

C.

D.

2222.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________. 3.已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x-y+3=0的距离为1,则a的值等于(

) A.2

B.22 C.21

D.21

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答案：C

三．提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1

2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离

3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题

学习重点:点到直线距离公式的推导和应用. 学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立

二、学习过程

知识点1：已知点P(x0,y0)和直线l:AxByC0，则点P到直线l的距离为：王新敞王新敞dAx0By0C22AB注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；

⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式. .

问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0,y0)，直线方程l:AxByC0中，如果A0，或B0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢并画出图形来.

例

分别求出点A(0,2),B(1,0)到直线3x4y1

0的距离.

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问题2：求两平行线l1：2x3y80，l2：2x3y

10的距离.

知识点2：已知两条平行线直线l1AxByC10，l2:

AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C2王新敞AB注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使x,y的系22

数相等.

典型例题

例1

求点P0(-1，2)到下列直线的距离：

(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.

变式训练

点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.

例2

已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积

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变式训练

求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离

当堂检测

课本本节练习. 拓展提升

问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值.

.

学习小结

1.

点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式

王新敞王新敞

课后巩固练习与提高

30分钟训练

1.点（3,2）到直线l:x-y+3=0的距离为(

) A.42

B.2

C.22 D.3

2.点P(m-n,-m)到直线xy=1的距离为(

) mnA.m2n2

B.m2n2 C.m2n2 D.m2n2

3.点P在直线x+y-4=0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为(

)

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A.13

B.22

C.6

D.2 4.到直线2x+y+1=0的距离为5的点的集合为(

) 5A.直线2x+y-2=0

B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0

D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0 5.若动点A、B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(

) A.32

B.22

C.33

D.42

6.两平行直线l1、l2分别过点P1(1,0)、P2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l1：_________________,l2：_______________. 7.已知直线l过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l的距离为3，求直线l的方程. 8.已知直线l过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l的距离相等，求直线l的方程. 9.已知三条直线l1：2x-y+a=0(a＞0),直线l2：4x-2y-1=0和直线l3：x+y-1=0,且l1与l2的距离是75. 10(1)求a的值. (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列3个条件:①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P到l2的距离的1；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是2:5？若能,2求P点的坐标;若不能,请说明理由.

参考答案

1.解析:由点到直线的距离公式可得d=答案：C

2.解析:|323|222. xy1nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得

mn|n(mn)m2mn|m2n2|n2m2|m2n2m2n2. 答案：A 3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得答案：B

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4222.

4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为5.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得5|m1|55｜m-1｜=1，解得m=2或m=0.

5故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0. 答案：D

8.解：直线l平行于直线AB时，其斜率为k=kAB=13=-1，

51即直线方程为y=-(x-1)+1x+y-2=0；直线l过线段AB的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l的方程为y=1. 综上，直线l的方程为x+y-2=0或y=1. |a9.解：(1)根据题意得：l1与l2的距离d=1|275|a1|7a=3或a=-4(舍). 10225(2)设P点坐标为(x0,y0),则x0＞0,y0＞0.若P点满足条件②, 则2×|2x0y03|5|2x0y051|2｜8x-4y+12｜=｜4x-2y-1｜, 0000

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8x0-4y0+12=4x0-2y0-1①

若P点满足条件③, 则2或8x0-4y0+12=-(4x0-2y0-1)4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0;

|2x0y03|52|2x0y01|2｜2x0-y0+3｜=｜x0+y0-1｜, 2x0-y0+3=x0+y0-1或2x0-y0+3=-(x0+y0-1), x0-2y0+4=0或3x0+2=0; ②

由①②得

4x02y0130,4x02y0130,12x06y0110,

或或x02y0403x0203x020212x03,x0,x0,x0,12x06y0110,393或或解得

或1或31371y0x02y040.yy.y20006182故满足条件的点P为(-3,123121137)或(,)或(,)或(,).

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