1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学设计第一课时

空间几何体的表面积与体积

学习目标

1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推导过程.（难点） 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积与体积.（重点） 3. 熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系，培养转化与化归的思想与空间想象能力. （难点） 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？

知识探究

正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

棱柱的侧面展开图

棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

正棱柱的侧面展开图

特别提醒

将空间图形问题转化为平面图形问题，是解立体几何问题最基本、最常用的方法. 棱锥的侧面展开图

棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

侧面展开

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它们的各个侧面面积与底面面积之和．

知识应用

例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．

分析：四面体的展开图是由四个全等的等边三角形组成．

【解析】先求△SBC的面积，过点S作

SD^BC，交BC于点oD．因为BC=a，3SD=SB×sin60=a,2SΔSBC11332=BC×SD=a×a=a.2224因此，四2面体S-ABC 的表面积为

4×3a4=3a2.

圆柱的表面积

圆柱的侧面展开图是一个矩形

圆柱表面积

圆锥的表面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形

2

圆锥表面积

圆台的表面积

参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么?

圆台的侧面展开图是一个扇环，

22

圆台表面积

S2r2rl2r(rl).2Srrlr(rl).S(rrrlrl).

提升总结

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？

例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100 毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（π取3.14，结果精确到1 毫升，可用计算器）？

分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.

柱体体积

以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式.它们的体积公式可以统一为VSh（S为底面面积，h为高）．

一般柱体的体积也是

其中S为底面面积，h为柱体的高．

圆锥体积

VSh，圆锥的体积公式是

V（其中S为底面面积，h为高），

它的体积是同底等高的圆柱的体积的

．

1Sh3

棱锥体积

探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．

经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积

1的

，即棱锥的体积

VSh3

由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的

．

台体体积

根据台体的特征，如何求台体的体积？

由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)

P-ABCDP-ABCD

V=V-V1(SSSS)h3

知识应用

例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽共重5.8 kg，已知底面是正六边形，边长为12 mm，内孔直径为10 mm，高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14，可用计算器）？