3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示名师教学视频（文字实录）

3.1.5空间向量运算的坐标表示

课题

向量的坐标

教学目的要求

1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系

2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示

主要内容与时间分配

1．投影与投影定理

25分钟

2．分向量与向量的坐标

30分钟

3．模与方向余弦的坐标表示

35分钟

重点难点

1．投影定理

2．分向量

3．方向余弦的坐标表示

启发式教学法，使用电子教案

教学方法和手段

一、向量在轴上的投影

1．几个概念

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数满足AB，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则ABe

(2)

设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有ACABBC

(3)

两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作OAa，OBb，规定不超过的AOB称为向量a和b的夹角，记为(a,b)

'(4)

空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影。

(5)

向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B，那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做''''PrjuAB。

2．投影定理

性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：PrjuABABcos

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即

Prju(a1a2)Prja1Prja2

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

Prju(a)Prja

二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设a =M1M2是以M1(x1,y1,z1)为起点、M2(x2,y2,z2)为终点的向量，i、j、k分别表示

图7－5 沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：

M1M2(x2x1)i + (y2y1)j+(z2z1)k 或

a = ax

i + ayj + azk 上式称为向量a按基本单位向量的分解式。

有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为

a

＝

{ax，ay，az}。

上式叫做向量a的坐标表示式。

于是，起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)的向量可以表示为

M1M2{x2x1,y2y1,z2z1}

特别地，点M(x,y,z)对于原点O的向径

OM{x,y,z}

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，

向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax

i 、

ayj 、

azk. 2．向量运算的坐标表示

则

(1)

加法：

ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k

◆

减法：

◆

乘数：

◆

或

设a{ax,ay,az}，b{bx,by,bz}即aaxiayjazk，bbxibyjbzk

ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k

a(ax)i(ay)j(az)k

ab{axbx,ayby,azbz}

ab{axbx,ayby,azbz}

a{ax,ay,az}

◆

平行：若a≠0时，向量b//a相当于ba，即

{bx,by,bz}{ax,ay,az}

也相当于向量的对应坐标成比例即

bxbybz

axayaz三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

设a{ax,ay,az}，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量a的方向角，见图7cos、cos称为方向余－6，其余弦表示形式cos、弦。

1．

模

22aaxayaz2

图

7－6

2．

方向余弦

aMMcosacos12x222由性质1知ayM1M2cosacos，当aaxayaz0时，有

aM1M2cosacoszaaxcosx22aaxayaz2ayay

cos222aaxayazaazcosz222aaaaxyz◆

任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2◆

与非零向量a同方向的单位向量为：

cos21

a0aa1a{ax,ay,az}{cos,cos,cos}

3．

例子：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及与M1M2同向的单位向量。

解：M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}

M1M2(1)212(2)22

112cos，cos，cos

222

023，，

3340设a为与M1M2同向的单位向量，由于a{cos,cos,cos}

即得

112a0{,,}

222