阅读与思考 向量概念的推广与应用主要内容及教案内容

向量概念的推广与应用

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-1》（人教A版2003版）第三章空间向量与立体几何阅读与思考《向量概念的推广与应用》。这节课是学生在学***面向量、空间向量之后的一节阅读与思考课，这节内容首先由生活中常见的问题（如何合理定制每位学生班服的尺码）引入n维向量，其次定义了n维向量的运算，最后运用n维向量的运算解决生活实际问题。通过本节课的学习，培养了学生归纳、类比的能力,增强学生的数学应用意识和创新意识。

二、学生学习情况分析

向量是既有大小又有方向的量,它能像数一样进行运算,本身又是一个“图形”,所以向量可以作为沟通代数和几何的桥梁,在很多问题的解决中有着重要的应用。本节内容是第三章空间向量与立体几何阅读与思考《向量概念的推广与应用》，这节课是学生在学***面向量、空间向量之后的一节阅读与思考课，也是由平面向量、空间向量推广到n维向量的归纳、类比、创新能力的拓展课，同时也将n维向量的运算用于解决生活实际问题的应用课。

三、设计思想

在本节课的教学过程中，以“本班要为每位学生如何合理定制班服尺码的问题”为主线，引出向量的推广，即n维向量的概念。通过类比平面向量、空间向量的运算，得出n维向量的运算，并探究如何用向量中的运算来解决定制班服尺码的问题，并总结出了解决生活实际问题的三个步骤：首先将生活问题转化为数学问题；其次用数学知识进行运算得出结果；最后将所得结果指导实践，进行决策。在解决问题中，学生体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。

四、教学目标

1.知识与技能

理解n维向量的概念；掌握n维向量的运算,并能运用n维向量的运算解决生活实际问题。

2.过程与方法

经历向量由平面向量、空间向量向n维向量推广过程,让学生感受一个数学概念的推广可能带来更多的应用及可能存在的问题;进一步培养学生归纳、类比的能力,增强学生的数学应用意识和创新意识。

3.情感态度与价值观

经历向量由平面向量、空间向量向n维向量推广过程,体验数学在结构上的和谐性,激发学生的学习热情,培养学生勇于探索、创新的个性品质。

五、教学重点难点

教学重点：n维向量的有关概念、运算及应用

教学难点：用n维向量解决生活实际问题

六、教学过程

（一）创设情景、提出问题

这两天，班长找我说：为了增强班级的团结和凝聚力，本班打算要为每位同学定制班服。现同学们在淘宝选好了样式和颜色，班长与淘宝商家取得了联系，商家提供了5种型号的班服（S、M、L、XL、XXL），每种型号标有对应的身高、胸围、腰围和肩宽。如果你是班长，试估计每种型号的班服数量，以便商家安排生产？

【学情预设：学生会说出量出每位学生的身高、胸围、腰围和肩宽，与商家提供的5种型号进行比较，但说不出如何进行比较。】

【设计意图：用一个生活中常见的实例，为引出向量概念的推广概念做准备；同时该问题是解决本班自己的问题，更能激发学生学习新知的兴趣和欲望。】

同学们首先会量出每位学生的身高、胸围、腰围和肩宽，与商家提供的5种型号进行比较，但发现数据太多，不好进行比较。

如何解决这个问题呢？首先解决的是如何将多个量用一个量表示，即能否用一个量表示身高、胸围、腰围和肩宽四个要素（四元变量）？（将生活问题转化为数学问题）；其次，若有这样的量，用该量的何种运算进行比较？（用数学知识解决数学问题）；最后，将所得结果如何指导实践，进行决策？（如何用数学结果指导实践）

【设计意图：将如何定制班服的问题分解为三个小问题，使得学生有信心有方法去解决每个小问题，这样的分解恰好是数学模型的三个步骤：将生活问题转化为数学问题；用数学知识解决数学问题；如何用数学结果指导实践。】

首先同学们思考：在数学中，有没有用一个量表示多个要素（量）？

【学情预设：学生会说出平面的点（横坐标、纵坐标）和空间的点（横坐标、纵坐标、竖坐标）】

平面中的点与平面向量一一对应，空间中的点与空间向量一一对应，平面向量（二维向量）可以表示两个要素，空间向量（三维向量）可以表示三个要素，是否有四维向量可以表示四个要素……是否有n维向量可以表示n个要素？这就是我们今天要探究的问题：向量概念的推广与应用。

（二）师生互动、探究新知

1.探究n维向量的定义及表示

同学们将课本翻到99页，带着以下问题，用6分钟的时间阅读第99页《向

量概念的推广与应用》。

PPT演示下列问题：

1.为什么要定义n维向量？n维向量为什么用坐标法表示？

2.你能否用向量表示你本次月考的六科成绩（语文、数学、英语、物理、化学、生物）？

3. n维向量有哪些运算？他们是如何运算的？你如何理解记忆这些运算？

4.运用n维向量运算如何解决我们定班服的问题？

【设计意图：前面提出的问题，激发了学生学习新知的兴趣和欲望，通过自学方式，学生将n维向量知识有了大概的了解和掌握，并有了初步解决如何定制班服的方法，上面四个问题，使得学生有了更明确的目的和学习态度，增强了学生自学的有效性。】

提问学生，回答第1个问题，

【学情预设：学生会说出用一个量表示多元变量的原因，但说的不完善，需要补充，也需要举例说明。】

教师补充完善，并举例：

问题源于生活，我们知道：新汽车的质量可以由：制动距离、滑行距离、最高车速、每公里油耗、噪声、废气排量等六项指标决定，则每辆新汽车的质量可用六维向量表示，即a(a1,a2,a3,a4,a5,a6)，为什么六维向量用坐标法表示而不用几何法表示？因为超过三维的空间我们很难想象，不易用图像表示，所以一般超过三维的空间向量我们用坐标表示。

所以我们定义n维向量为：

一般的，n元有序实数组(a1,a2,,an)称为n维向量，它是几何向量的推广。n维向量的全体构成的集合，赋予相应的结构后，叫做n维欧氏空间，它的每一个元素可以看成n维向量空间的一点。

回答下面的问题：

（1）请你用向量表示你本次月考的六科成绩（语文、数学、英语、物理、化学、生物）。

（2）如果用向量表示校门口商店去年每个月的矿泉水销售量，请问你用几维向量表示？如何表示？

【设计意图：学生用所学新的知识n维向量表示日常生活中含有多元变量的量，使学生感受到所学知识的价值。】

【学情预设：学生已经理解了n维向量的定义，用n维向量能够表示日常生活中含有多元变量的量。】

我们用所学知识知道，可以用四维向量表示每位学生的身高、胸围、腰围和肩宽，即a(a1,a2,a3,a4)，其中a1表示身高，a2表示胸围，a3表示腰围，a4表示肩宽（解决了本节课问题引入的第一问，将生活问题转化为数学问题）。

2.探究n维向量的运算

提问：我们在平面向量、空间向量中，学习了哪些向量的运算？能否将这些运算类比到n维向量中，如果能，则n维向量中的运算是怎样的？

【设计意图：通过让学生类比与猜想，使学生体验数学在结构上的和谐性与延展性。】

【学情预设：学生已经掌握了平面向量、空间向量中的向量加法、减法、数乘、和数量积运算（坐标运算），能够类比出n维向量中向量的加法、减法、数乘、和数量积运算，对于特殊的模长运算需要老师指出来。】

若a(a1,a2,,an),b(b1,b2,bn),则：

ab(a1b1,a2b2,,anbn)(ab,ab,,ab)ab1122nna(a1a2an)

aba1b1a2b2anbn22aa12a2an设A(a1,a2,,an),B(b1,b2,bn)则可以求出A、B两点间的距离

2dABAB(b1a2)2(b2a2)2(bnan）

设计学生讨论环节：

1.我们用四维向量表示了每位学生的身高、胸围、腰围和肩宽，即a(a1,a2,a3,a4)，我们用以上向量的哪个运算比较每位学生与给出的型号的关系？

【学情预设：由于前面提供了两点间的距离公式与模长公式，学生很容易联想到用一个点表示四维向量，通过计算学生（点A）与型号s（点S）、型号m(点M)、型号l（点L）……的距离来比较】

（解决了本节课问题引入的第二问，用数学相关知识解决数学问题）。

2.通过模长运算（距离运算）出的结果如何进行决策我们定班服的型号？

【学情预设：一部分学生可以通过讨论得出选择距离较近的型号，也可能有一部分学生可能得出选择两个模长接近的型号】

【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更能加

深对所知识的理解，也能突现学生的不同想法与个性。】

老师提问小组讨论的结果，并问有没有不同的想法，给予指导为什么选择距离较近的而不选择模长接近的。

（解决了本节课问题引入的第三问，如何用数学结论指导生活实践，进行决策）。

我们掌握了n维向量的运算，那么用这些运算如何解决生活中的实际问题？

3.探究n维向量的应用

提出问题：有人在某地拍摄到两只形似的鸟，如图所示，他们大小如鸽，形状如燕子相似，初步判定，它们属于隼形目隼科的鸟类，但无法判定它们是燕隼或是红隼。为了解决这个问题，我们到动物园通过抽样测量得到：燕隼的平均体长约为31cm，平均翅长约为27cm；红隼的平均体长约为35cm，平均翅长约为25cm。并且我们将两张照片通过等比例计算得到这两只鸟的实际体长与翅长分别为A(33.1,26.3),B(32.6,25.2)，你能利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？

【学情预设：由于学生已经知道通过n维向量中两点间的距离计算如何合理定制班服的问题，所以本题对学生而言难度不大，思维比较顺畅。】

【设计意图：这是一道生活实际和动手计算的问题，不仅是为了拓展加深对知识的认识，更重要的是培养学生应用能力和思维的延展能力。】

解析：设燕隼的平均体长与翅长用Y(31,27)表示，红隼的平均体长与翅长用H(35,25)表示,则

dAYBY4.9

dAHBH5.3

可以判定A鸟是燕隼。

dBYAY5.8

dBHAH5.8

无法判定A鸟是燕隼还是红隼。

4.课堂练习

某同学购买了铅笔m支，圆珠笔n支，钢笔s支，水彩笔t支，其中铅笔

每只a元，圆珠笔每只b元，钢笔每只c元，水彩笔每只d元，请用x向量表示每种笔的数量，y向量表示每种笔的价格，并描述xy的意义。

【学情预设：本道练习题是考察了n维向量的定义和n维向量中向量数量积的运算，学生已经掌握了数量积的运算，不难发现两个向量数量积在本题中的意义。】

【设计意图：设计一个课堂，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时巩固所学知识，运用所学知识培养学生的思辨能力和应用能力。】

由上面的例子可以看出，由有序实数组构成的向量，比几何向量的应用更加广泛。在日常生活和科学研究中，有许多量都可由有序实数组构成的向量表示，并可以用向量的理论来研究这些量的性质。

（三）课堂小结

提问学生本节课的收获是什么？

【学情预设：学生能够总结出：“本节课首先将向量的概念进行了推广，会用n维向量表示日常生活中的多元变量；用类比的方法定义了n维向量的运算，举例说明如何运用n维向量的运算解决生活中的实际问题”。但可能想不到总结如何解决生活实际问题的三个步骤，需要老师补充。】

【设计意图：通过学生小结本节内容，使学生对本节课的知识有一个全面的认识和掌握。】

老师补充：

本节课不仅学习了“将向量的概念进行了推广，会用n维向量表示日常生活中的多元变量；用类比的方法定义了n维向量的运算，举例说明如何运用n维向量的运算解决生活中的实际问题。”还为我们班级解决了如何合理定制班服型号的问题，更给我们提供了解决生活实际问题的三个步骤：首先将生活问题转化为数学问题；其次用数学知识进行运算得出结果；最后将所得结果指导实践，进行决策。

七、教学反思

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在n维向量的应用上。背景创设是本班学生身边的问题，即如何合理定制班服型号的问题，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

2.情景设计的数学模型很好地融合n维向量的推广和n维向量中向量的运算，能够揭示n维向量比几何向量的应用更加广泛。

3.通过问题引导学生自主探究，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与

自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。

4.本节课完成了发展学生的数学应用意识和创新意识的目标, 在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间, 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力, 发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界, 是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。