习题3.1教学内容概述

空间向量及其运算

1.

空间向量的线性运算

1.空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．

(2)几种常用特殊向量

①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量．

③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量．

⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．

⑥共面向量：平行于同一个平面的向量．

2.空间向量的线性运算

(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．

BOAABab设a，b是空间任意两向量，若OAACa,ABb，P∈OC，则O，BCACABab，OPa(R).

（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律

①加法交换律：a＋b＝b + a . ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）．

③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb. ④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ)

a.(λ∈R，μ∈R)．

对点练习：

1.如图，空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc,点M在OA上，且OM2MA，点N为BC中点，则MN等于（ ）

A.121211111221abc B.abc C.abc D.abc

232322222332

2. 共线向量定理、共面向量定理的应用

(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使pxayb.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使pxaybzc把{a，b，c}叫做空间的一个基底．

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，

使OPxOAyOBzOC.其中x＋y＋z＝1.

.

2.已知a(2,1,3)，b(1,4,2)，c(7,5,)，若a,b,c三向量共面，则实数等于（ ）

A．

62636465 B． C． D．7777

3.

空间向量的数量积及其应用

1．两个向量的数量积

(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|＝a，|a|＝x＋y＋z. 2．向量的坐标运算

22222

向量和

向量差

数量积

共线

垂直

夹角

公式

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3

2222a2b21＋a2＋a31＋b2＋b33.已知向量a1,1,0，b1,0,2，且kab与2ab互相垂直，则k的值为（ ）

A．1 B． C． D．

153575

4.空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算

空间直角坐标系及有关概念

(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．

(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向．

(3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

2．空间两点间的距离公式

设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝(x1－x2)＋(y1－y2)＋(z1－z2). 4.如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，

BAC与BCD均为等腰直角三角形，且

222

BACBCD90，

BC2．点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30的角，则线段PA长的取值范围是（ ）

A. 0,2626 B. C. D. 0,,2,23232

考点一

空间向量的线性运算

【1-1】空间四边形ABCD中，若向量AB(3,5,2)，CD(7,1,4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为（ ）

A．(2,3,3) B．(2,3,3) C．(5,2,1) D．(5,2,1)

考点2 共线向量定理、共面向量定理的应用

【2-1】【浙江省杭州市萧山区第一中学】已知错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，则

A.

错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

→【2-2】有4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；③若MP＝→→→→→xMA＋yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP＝xMA＋yMB. 其中真命题的个数是(

) A．1 B．2 C．3 D．4

考点3 空间向量的数量积及其应用

【3-1】已知A（2，3，－1），B（2，6，2），C（1，4，－1），则向量AB与AC的夹角为（ ）

A．45° B．90° C．30° D．60°

【3-2】已知半径为1的球O内切于正四面体ABCD，线段MN是球O的一条动直径(M,N是直径的两端点),点P是正四面体ABCD的表面上的一个动点,则PMPNABBD的取值范围是________．

考点4 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算

【4-1】【2017届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】已知动点P在棱长为1的正方体ABCDA1BC11D1的表面上运动，且线段PAr(0r3)，记点P的轨迹长度为fr.给出以下四个命题： ①f13； ②f22323

23； ③f33④函数fr在0,1上是增函数，

fr在2,3上是减函数. 其中为真命题的是_________（写出所有真命题的序号）

【4-2】在空间直角坐标系中，点(1,b,2)关于y轴的对称点是(a,1,c2)，则点P (a,b,c)到坐标原点O的距离|PO|_____________．