3.3.1 两条直线的交点坐标教学活动设计方案

3.3.1

两条直线的交点坐…

高中数学

人教A版2003课标版

1教学目标

1.了解方程组解的个数与直线的平行、相交或重合的对应关系．

2．掌握求直线的交点坐标及两点间的距离公式．(重点) 3．理解方程组的解与两直线的位置关系．(难点) 2学情分析

1.学习过程中要通过两直线交点与两直线方程组解的对应关系，掌握直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置关系的代数方法，从而认识事物之间的内在联系，学会用辩证的观点看问题．

2．学习两点间距离公式是通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理，探究出两点间距离公式，通过公式的应用，初步了解解析法证明的思路和方法，从而体会由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合的转化思想. 3重点难点

1.了解方程组解的个数与直线的平行、相交或重合的对应关系．

2．掌握求直线的交点坐标及两点间的距离公式．(重点) 3．理解方程组的解与两直线的位置关系．(难点) 4教学过程 4.1 第一学时 教学活动

活动1【讲授】正课

判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．

(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；

(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；

(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0. (链接教材P103例2) [解]

(1)解方程组，

得.

所以，l1与l2相交，交点坐标是M(，)．

(2)解方程组

①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，

所以两直线无公共点，l1∥l2. (3)解方程组

①×2得6x＋8y－10＝0. 因此，①和②可以化成同一个方程，

即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．

方法归纳

判定两条直线的位置关系有两种方法：

(1)通过解两直线对应方程组成的方程组，若方程组有一解，两直线相交，无解，两直线平行，两方程能化成同一个方程，两直线重合．

(2)利用两直线方程的对应系数的比判断两直线的位置关系．

设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(A1，B1不同时为零且A2，B2不同时为零) 当A1，B1，C1，A2，B2，C2都不为零时：

①当≠时，l1与l2相交．

(特别地，当A1A2＋B1B2＝0时，l1⊥l2) ②当＝≠时，l1∥l2. ③当＝＝时，l1与l2重合．

所以当B1≠0且B2≠0时，

l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1；

当B1＝0且B2＝0时，l1∥l2⇔A1C2≠A2C1. 2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：

(1)2x－y＋7＝0，x＋y＝1；

(2)x－3y－10＝0，y＝；

(3)3x－5y＋10＝0，9x－15y＋30＝0. 解：(1)由得

所以两直线相交，交点坐标为(－2，3)．

(2)两直线方程分别化为y＝x－，

y＝x＋.由斜率相等，纵截距不等知两直线平行．

(3)将3x－5y＋10＝0的两边同乘以3得，

9x－15y＋30＝0，与第二个方程完全相同，

故两直线重合．

求两点间的距离

已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．

(链接教材P105例3) [解]

设所求点为P(x，0)，

∵|PA|＝|PB|，

∴＝，

∴x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1. ∴所求点为P(1，0)，

|PA|＝＝2. 方法归纳

坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本、最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．

3．求下列两点间的距离：

(1)A(6，0)，B(－2，0)；(2)C(0，－4)，D(0，－1)；

(3)P(6，0)，Q(0，－2)；(4)M(2，1)，N(5，－1)．

解：(1)|AB|＝＝8. (2)|CD|＝＝3. (3)|PQ|＝＝2. (4)|MN|＝＝. 坐标法证明几何问题

证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．

(链接教材P105例4) [证明] 如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0)．设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)．

因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，

|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，

|BD|2＝(b－a)2＋c2. 所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，

|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．

所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2. 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．

方法归纳

用解析法解决几何问题的基本步骤：

→→

4．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．

证明：

以两直角边OA，OB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，C为AB的中点，设A(a，0)，B(0，b)，则C(，)．

∴|OC|＝

＝

，

|AB|＝ .

∴|OC|＝|AB|，

即直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等．

易错警示

两条直线相交求参数中的误区

若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是(

) A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1 C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2 [解析]

为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．

(1)若三条直线交于一点，

由解得

将l2，l3 的交点(－a－1，1)代入l1的方程解得

a＝1或a＝－2①；

(2)若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，

得a＝±1②，当a＝1时，l1与l2重合；

(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，

得a＝1，当a＝1时，l2与l3重合；

(4)若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，

得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合．

综上，当a＝1时，三条直线重合；

当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，

所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2. [答案]

D

[错因与防范]

(1)①处，解题过程中，由a＝1或a＝－2得a≠1且a≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了三条直线中任意两条平行或重合也不能构成三角形．

②处，若得到a≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．

(2)解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．

5．(2014·银川高一检测)直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为(

) A． B．－

C． D．－

解析：选C．由，得，

把点(－9，－8)代入y＝ax－2，得－8＝－9a－2，

解得a＝＝. 名师解题

利用几何法求最值问题

某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？

[解] 如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|. 因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值．

设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，

即

解得即A′(3，6)，

所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，

解方程组得

所以P点的坐标为(，)．

故供水站应建在点P(，)处，

此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝. [名师点评]

(1)在直线上求到两个定点距离和(或差)的最值问题时，一般不用函数思路求解，应考虑用几何性质求解．

(2)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|取得最小值时，若点A，B在直线l的同侧，则作点A(或点B)关于l的对称点A′(或点B′)，连接A′B(或AB′)交l于点P，则点P即为所求；若点A，B位于直线l的异侧，直接连接AB交l于点P，则点P即为所求．可简记为“同侧对称异侧连”．

(3)在直线l上求一点P，使||PA|－|PB||取得最大值时，方法与(2)恰好相反，即“异侧对称同侧连”．

[学业水平训练] 1．已知点A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于(

) A．0或8 B．0或－8 C．0或6 D．0或－6 解析：选A．由|AB|＝5得＝5，

所以(4－b)2＝16，

∴4－b＝±4，

∴b＝0或b＝8. 2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(

) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0

解析：选A．由，得故过点(1，6)与x－2y＝0垂直的直线为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0. 3．若过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为(

) A．6 B．

C．2 D．不能确定

解析：选B．因为直线AB与y＝x＋m平行，则＝1，即b－a＝1，

|AB|＝＝. 4.(2014·烟台高一检测)已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是(

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

解析：选A．∵|AB|＝＝，

|BC|＝＝，

|AC|＝＝，

所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

所以△ABC为直角三角形．

5．(2014·咸阳高一检测)点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是(

A．(5，2) B．(2，5) C．(－5，－2) D．(－2，5) 解析：选C．设对称点P′(x，y)，

则，

∴x＝－5，y＝－2. 6．直线y＝ax＋1与y＝x＋b交于点(1，1)，则a＝________，b＝________．解析：因为直线y＝ax＋1与y＝x＋b的交点为(1，1)，

) )

所以⇒. 答案：0

0 7．直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．

解析：设M的坐标为(x，y)，

则，解得，

所以|OM|＝＝. 答案：

8．经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的方程为________．

解析：由，得，

垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的斜率为－，

故所求的直线方程为y－2＝－(x＋2)，

即2x＋3y－2＝0. 答案：2x＋3y－2＝0 9．(1)求在x轴上与点A(5，12)的距离为13的点的坐标；

(2)已知点P的横坐标是7，点P与点N(－1，5)间的距离等于10，求点P的纵坐标．

解：(1)设x轴上的点为B(x，0)，

由|AB|＝13，

得＝13，

∴(x－5)2＝25，

∴x－5＝5或x－5＝－5. ∴x＝10或x＝0，

即点B的坐标为(10，0)或(0，0)．

(2)设点P的纵坐标为y，即P(7，y)．

由于|PN|＝10，

∴＝10，

∴(y－5)2＝36，

∴y－5＝6或y－5＝－6，从而y＝11或y＝－1，

∴P点的纵坐标为11或－1. 10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的2倍的直线l的方程．

解：(1)2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．

(2)当l的方程不是2x＋y－8＝0时，

设l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0，

即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0. 令x＝0，得y＝－；

令y＝0，得x＝－. 所以－＝2·(－)，解得λ＝，

此时直线l的方程为2x－3y＝0. 综合(1)(2)，所求直线方程为2x＋y－8＝0或2x－3y＝0. [高考水平训练] 1．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是(

) A．(－1，0) B．(1，0)

C．(，0) D．(0，) 解析：选B．

A(－3，8)关于x轴对称的点A′(－3，－8)，A′B与x轴的交点，就是使|MA|＋|MB|最短的M点，

直线A′B的方程为

＝，

当y＝0时，得x＝1，

即此时M的坐标为(1，0)．

2．(2014·南昌高一检测)若三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a应满足的条件是________．

解析：解方程组，

得，即两直线的交点坐标为(－3，2)．

依题意知，实数a满足的条件为，

解得，

即实数a满足的条件为a∈R，且a≠且a≠3且a≠－6. 答案：a≠且a≠3且a≠－6 3．已知AO是△ABC边BC的中线，求证：

|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．

证明：

以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)．

则|AB|2＋|AC|2＝[b－(－a)]2＋

(c－0)2＋(b－a)2＋(c－0)2＝2(a2＋b2＋c2)，

|AO|2＋|OC|2＝b2＋c2＋a2.

故|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．

4．已知两点A(－2，4)，B(4，2)和直线l：y＝kx－2. (1)求直线l恒过的定点P的坐标；

(2)若直线l与线段AB相交，试求k的取值范围．

解：(1)令x＝0，则y＝－2，所以不论k取什么值，

直线l：y＝kx－2都过定点P(0，－2)．

(2) 直线l：y＝kx－2过定点P(0，－2)，所以kPA＝＝－3，

kPB＝＝1. 如图所示，所以直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．