2.2.4 平面与平面平行的性质教学设计内容推荐

2.2.4

两个平面平行的判定和性质（二）

●教学目标

(一)教学知识点

1．两个平面平行的性质．

2．利用性质证明问题．

(二)能力训练要求

1．提高分析、解决问题的能力．

2．进一步渗透等价转化的思想．

(三)德育渗透目标

1．事物之间可以相互转化．

2．通过证明问题，树立创新意识．

●教学重点

两个平面平行的性质．

●教学难点

性质定理的正确运用．

●教学方法

发现教学法

通过观察、分析，从而发现两个平面平行之后所具有的性质．

●教具准备

投影片一张：(记作§9．5．2 A)

●教学过程

Ⅰ．复习回顾

师生共同复习回顾上节知识点及解决问题归纳小结，如何判断两个平面平行？所应具备的条件是什么？

Ⅱ．讲授新课

3．两个平面平行的性质

［师］请同学思考：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面具有什么关系？

［生］通过作图可以发现，若平面和平面平行，则两面无公共点，那么也就意味着平面内任一直线a和平面也无公共点，即直线a和平面平行．

用式子可表示为：∥，aa∥．

用语言表述就是：

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．

［师］（归纳总结．）

此结论在以后的解决问题过程中可直接运用，既是面面平行的性质定理，又是线面平行的判定定理．

［师］如图，设∥，∩＝a，∩＝b，我们研究两条交线a、b的位置关系．

［生］观察、分析可发现：

因为∥，所以a、b没有公共点，

而a、b又同在平面内，于是有a∥b．

［师］下面给出两个平面平行的性质定理．

两个平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

已知：∥，∩＝a，∩＝b．

求证：a∥b．

分析：（师生共同活动）

通过前面的学习，我们知道判定两线平行的途径有：

(1)利用定义：在同一平面内没有公共点的两条直线平行．

(2)运用公理：证明这两直线平行于同一直线．

(3)依据性质定理：线面平行的性质定理，如果一条直线平行于一个平面、经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线和交线平行．线面垂直的性质定理——垂直于同一平面的两条直线平行．

而题目中证明a∥b，a、b又同在平面内，且分别在两个平行平面内，因此本题的证明可利用方法(1)．

证明：∵

平面∥平面，

∴

平面和平面没有公共点．

又a，b，

∴

直线a、b没有公共点．

又∵

∩＝a，∩＝b，

∴

a，b．

∴

a∥b．

［师］同学们接下来研究两个平行平面内的所有直线是否都平行．

已知两个平面平行，依据性质定理：

一个平面内的任何直线都平行另一平面．

依据性质定理：若有第三个平面和两个平行平面相交，那么它们的交线平行，但是，能不能说两个平行平面内的所有直线都是互相平行的呢？如上图，∥，a，b，可以看出：只有当a、b确定平面时，依据性质定理，a与b才平行，否则就不平行，直线a与b能相交吗？

［生］不能．这是因为，若a∩b＝A，

∵

a，∴

A∈．

又b，∴

A∈．

∴

与必相交．

因此a、b不可能相交．

由此在两个平行平面内的直线，它们可能是平行直线，也可能是异面直线．

师引导学生得出结论：两个平行平面的判定定理与性质定理的作用，重点都集中在“平行”二字上，判定定理解决的问题是：在什么样的条件下两个平面平行；性质定理说明的问题是：在什么样的条件下两条直线平行．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．

［师］下面以例题说明性质定理在解决问题时作用．

［例］求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．

已知：∥，l⊥，l∩＝A．

求证：l⊥．

［设法创造条件，找到平面，使之与平面和平面相交，使之可利用性质定理解决问题．］

证明：在平面内任取一条直线b，平面是经过点A与直线b的平面，设∩＝a

因为b是平面内任意一条直线，所以根据直线与平面垂直的定义，可知l⊥．

［师］上述例题所证明的命题用符号表示就是∥，l⊥l⊥．

用转化的思想可解释为：

面面平行、线面垂直线面垂直．

这是一个关于两个平面平行的性质的一个命题，可以用来判断直线与平面垂直．

4．两个平行平面的距离

［师］由线面距离，进一步研究面面距离，请同学归纳表述．

［生］

(1)两个平行平面的公垂线、公垂线段的定义：

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段．

∥，

如果AA′，BB′都是它们的公垂线段，

那么AA′∥ΒΒ′．

依两个平面平行的性质定理有A′B′∥AB．

那么四边形ABB′A′是平行四边形，AA′＝BB′．

由此我们得到，两个平面平行，这两个平面的公垂线段都相等．

(2)两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．

Ⅲ．课堂练习

(一)课本P32练习1．(2)、(3)

2．

1．判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例．

(2)∥，m，nm∥n；

(3)∥，ll∥．

解：(2)假命题反例如图所示：

(3)真命题

//

l







l∩＝l∥．

［实质上问题的证明是从选择公共点的角度完成］

2．夹在两个平行平面间的平行线段相等．

证明：如图，AB∥CD，AB、CD确定一平面，

∩＝AC，∩＝BD．

//AC//BD

AB//CDAB＝CD．

［要证两线段相等，已知给的条件又是平行关系，那么证两线段所在四边形是平行四边形，进而说明两线段相等是解决问题常选用的一条途径．］

(二)补充练习

(§9．5．2 A) 1．以下四个命题中，正确的个数有(

)

①两个平行平面中的一个与直线l垂直，则另一个平面也与l垂直；

②一条直线和两个平行平面相交，则此直线和这两个平面成等角；

③一条直线和两个平面成等角，则此二平面平行；

④夹在两个平行平面间的两条线段长相等，那么这两条线段平行．

A．1

答案：B

同学思考、亲自动手(以书和笔为实验物)验证．

其中(1)、(2)从正面考虑，(3)、(4)举反例完成．

Ⅳ．课时小结

1．两个平面平行，即面面平行，可得：其中一面内的线平行于另一个平面，即线面平行．

两个平面平行，即面面平行，可得：两个平面与第三平面相交，交线平行，即线线平行．

2．求面与面距离可转化为线面距离，进而转化为点面距离．

Ⅴ．课后作业

(一)教材P33

6、7、8、9．

6．一条直线和两个平行平面相交，求证它和两个平面所成角相等．

［构造适合命题的图形，要证AA′∥BB′即利用两面平行的性质来完成线线平行，关键在找面推得AA′∥BB′．］

证明：设∥，若l⊥则l⊥．

B．2

C．3

D．4

即l与、所成角都是直角．

若l与斜交，过l上一点P作l′⊥，则l′⊥．

于是l′⊥AA′，l′⊥BB′．

而AA′、BB′在l与l′确定的平面内．

∴

AA′∥BB′．

因此∠PAA′＝∠PBB′．

7．两个平行平面之间的距离等于12 cm，一条直线和它们相交成60°角，求这条直线上夹在这两个平面间的线段的长．

解：如上图，平面∥平面，

BA′＝12 cm，∠A′EB′＝60°

BA12sin6032那么A′E＝243＝3＝83．

8．如图，a、b是异面直线a，b∥，b，a∥，求证：∥．

［通过辅助平面使问题转化］

证明：设P为b上任意一点，则a与P确定一面．

∩＝c，c∥a，

∴

c∥．

∴

c∥a．

又c与b有公共点P，

且c与b不重合，

即c与b相交．

由b∥可证∥．

9．如图，∥∥，直线a和b分别交、、于点A、B、C和点D、E、F．

ABDEBCEF求证：．

［此题是一个典型的将空间问题转化为平面问题的题目，作辅助面是关键．］

证明：作AB′⊥垂足为B′，则由∥可知AB′⊥设垂足为C

′．

作DE′⊥垂足为E′，则由DF′⊥，

由∥∥知

AB′＝DE′，B′C′＝E′F′．

∴

ABABDEDEBCBC，EFEF．

ABBEBCEF

∴

．

(二)预习内容及提纲

进一步归纳有关两个平面平行的问题解题方法．

●板书设计

§9．5．2

两个平面平行的判定和性质(二)

3．两个平面平行的性质

性质定理

作业

例题

练习

小结

4．两个平行平面的距离

公垂线、公垂线段

●备课资料

参考与练习

1．已知a和b是异面直线，a⊥b，a⊥，b，求证：b∥．

分析：从面面平行的角度来证明该题，构造平面就成为解决问题的关键．

证明：过b上一点P作a的垂线PQ交直线a于点Q，则直线b与PQ确定一个平面．

∵

a⊥b，a⊥PQ，b∩PQ＝P．

∴

a⊥，又a⊥，∴

∥，∵

b

∴

b∥．

2．设AB、CD为夹在两个平行平面、之间线段，且直线AB、CD为异面直线，M、P分别为AB、CD的中点，求证：MP∥．

证明：经过点A和CD作平面，该平面和、相交于AC、ED．

因∥，

∴

AC∥ED．

取AE的中点N，则NP∥AC，NP∥ED．

由题MN∥BE，MN∩NP＝N，

故面MNP∥，MP面MNP，

∴

MP∥．

评述：该题的证明过程渗透了等价转化思想，通过平面AEDC使异面问题转化为同一平面上线与线位置问题，将线面平行面面平行线面平行，随着转化的完成，证明过程也随着结束，转化是关键．

3．线段PQ分别交两个平行平面、于A、B两点，线段PD分别交、于C、D两点，线段QF分别交、于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积．

解：∵

面QAF∩＝AF，

面QAF∩＝BE．

又∵

∥，∴

AF∥BE．

同理可证：AC∥BD．

∴

∠FAC＝∠EBD或互补．

由FA∥BE，

BEQB121AFQA1212＝21，BE＝2AF．

由BD∥AC，

ACPA937BDPB217，BD＝31由题：2AC．

AF·Acsin∠FAC＝72．

∴

S△1DBE＝271BE·BD·sin∠EBD＝6×27AF·ACsinFAC＝6×72＝84．

∴

△BDE的面积为84平方单位．

评述：此题解决过程中体现整体思想的运用，即△ACF用结果．

4．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中．

1面积得到应用的是式子2AF·AC·sin∠FAC＝72，而没有去求AF、AC，而且转化的思想也渗透其中，面面平行线线平行这是两个平面平行的性质运

(1)求证：平面A1BD∥平面CB1D1；

(2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离．

(1)证法一：因面AC∥面A1C1，

面BB1D1D∩面AC＝BD，

面BB1D1D∩面A1C1＝B1D1，

∴

BD∥B1D1．

同理B1C∥A1D．

故B1D1∥面A1BD，B1C∥面A1BD．

面B1D1C∥面A1BD．

证法二：因B1C1⊥面A1B，A1B⊥AB1，

∴

A1B⊥AC1．

同理可证BD⊥AC1．

故AC1⊥面A1BD，AC1⊥面D1B1C．

即面A1BD∥面D1B1C．

证法三：因BB1DD1，

∴

BB1D1D是平行四边形．

即BD∥B1D1．

以上同证法一．

(2)解：AC1分别交面B1D1C及面A1BD于N、M两点．

面AA1C1C∩面A1BD＝A1O，

面AA1C1C∩面D1B1C＝CO1，

则A1O∥CO1．

由上可知AC1⊥面B1D1C，AC1⊥面A1BD．

即MN为所求距离．

AMAOOC又MNC1N＝1，同理NM＝1．

∴

13MN＝3AC1＝3a．

评述：该题是立体几何的一个典型题目，主要涉及两个平行平面的判定、性质及距离，等价转化思想，渗透较多．如平面间距离线面间距离线线距离点线距离．(其中平面与平面、直线与直线应是平行的，有时线面距离也转化为点面距离．)