习题4.1优秀课堂实录

《圆的标准方程》教学设计

吴裕东 浙江省新昌中学

一、教材分析

《圆的标准方程》是在认识《直线与方程》等知识的基础上对解析几何进一步深入认识,提高学生运用坐标法、数形结合的思想等研究解析几何的能力,为后来进一步学习圆锥曲线奠定基础. 圆作为常见的简单几何图形,在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的方程属于解析几何学的基础知识,是研究二次曲线的开始,对后续直线与圆的位置关系以及圆锥曲线等内容的学习,无论在知识上还是方法上都有着积极的意义,所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 在义务教育阶段，学生已经学习了圆的定义和一些性质。学生的符号计算能力普遍较弱(不少同学面对稍复杂的计算就心存胆怯),将几何问题转化为代数问题不熟练,探究问题的意识不强,课堂上应尽量给学生自主思考和练习的时间.

二、教学目标

1.掌握圆的标准方程;能够根据圆的标准方程写出圆心和半径;能够根据条件求出圆的标准方程. 2.进一步培养学生利用代数方法解决几何问题的能力;加深对数形结合思想的理解和对待定系数法的运用. 3.培养学生研究问题的能力和对问题细致的观察能力.

三、教学重点与难点

教学重点：圆的标准方程及其应用. 教学难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程.

四、授课类型：新课

五、课时安排：1课时

六、教学方法：引导、探究

七、教学准备：多媒体

八、教学过程

㈠

新课引入

用几张生活和大自然中的圆的图片.让学生欣赏.让学生意识到圆是世界上一种极为常见和美丽的图形，引出圆。

【设计意图】

提高学生对美的欣赏能力,同时让课堂在一种轻松的氛围中开始.

㈡

新课

1.提问学生：什么是圆？在平面直角坐标系中,如何确定一个圆？

【设计意图】

回顾圆的定义,温故知新.

2.推导圆的标准方程. 1

【设计意图】

师生一起推导圆的标准方程.并引导学生理解：若点M(x,y)在圆上,由前面讨论可知，点M的坐标适合方程,反之,若点M(x,y)的坐标适合方程,这就说明点M与圆心的距离是r,即点M在圆心为C(a,b)),半径为r的圆上.

3.提问学生：确定圆的方程必须具备几个独立条件？

【设计意图】为接下来利用待定系数法求圆的标准方程确定了理论基础.

4.简单应用

应用1.写出下列圆的标准方程: (1) 圆心在原点,半径长是3; (2) 圆心在C(3,4),半径长是5; (3) 圆心在C(8,3),且经过点M(5,1); (4) 已知A(0,1),B(0,5),以线段AB为直径. 【设计意图】正向利用圆的标准方程——已知圆心和半径,写出圆的方程.通过层层递进设置的题目,让学生学以致用,体会成功的喜悦. 应用2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径: (1) (x7)2(y4)236; (2) (xa)2y2m2(m0). 【设计意图】逆向理解圆的标准方程——通过圆方程,写出圆心坐标和半径.

5.典例分析

例1.写出圆心为A(2,3),半径长等于5的圆的方程,并判断M1(5,7),M2(5,1)是否在这个圆上. 解: 圆心为A(2,3),半径长等于5的圆的方程是

(x2)2(y3)225. 22把点M1(5,7)的坐标代入方程(x2)(y3)25,左右两边相等,点M1的坐标适合圆的方程,所以点M1在这个圆上; 把点M2(5,1)的坐标代入方程(x2)(y3)25,左右两边不相等,点M2的坐标不适合圆的方程,所以点M1不在这个圆上. 【设计意图】本题让学生体会点在圆上,则点的坐标一定满足方程,反之,不满足.通过本题引出点与圆的位置关系,然后师生共同探究得出结论：

(1)点M在圆上(x0a)(y0b)2r2; 2

22

(2)点M在圆内(x0a)(y0b)2r2; (3)点M在圆外(x0a)(y0b)2r2. 练习1.点P(1,5)与圆x2y225的位置关系是 A. 在圆外

B. 在圆上

( ) C. 在圆内

D. 在圆上或圆外

( ) 变式. 点P(m,5)与圆x2y225的位置关系是

A. 在圆外

B. 在圆上

C. 在圆内

【设计意图】

直接应用点与圆的位置关系解决相关问题. D. 在圆上或圆外

例2.ABC的三个顶点坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程. 分析：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆,三角形有唯一的外接圆.外接圆的圆心是什么线的交点? 解法1:待定系数法

设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2.

①

因为A(5,1),B(7,3),C(2,8)都在圆上,所以他们的坐标都满足方程①.于是

(5a)2(1b)2r2222(7a)(3b)r

(2a)2(8b)2r2解次方程组,得

a2b3. r225所以,ABC的外接圆的方程是(x2)2(y3)225. 解法2: 几何法(数形结合) 作出AB,BC的垂直平分线MD,ME交于点M,点M即为圆心. 求出线段AB的中点D(6,1),线段BC的中点E1911,,又kAB2,kBC1,所以kMD, 222kME1. 所以直线MD的方程为: y1直线ME的方程为:y1(x6),即x2y80.

2

①

119x,即xy10.

22

②

3

x2联立①, ②可解得. y3所以圆心M的坐标为(2,3),半径长为r|AB|(25)2(31)25. 所以,ABC的外接圆的方程是(x2)2(y3)225. 【设计意图】本道题让学生回忆初中关于圆的知识,思考外接圆的圆心是什么线的交点.自然引出“数形结合”的方法. 例3.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心C在直线l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程. 解法1:因为A(1,1),B(2,2),所以线段AB的中点D的坐标为31,,直线AB的斜率为

22213. 21因此线段AB的垂直平分线l的方程是

kAB

y113x,即x3y30. 232圆心C的坐标是方程组

x3y30

xy10x3. y2的解.解此方程组,得

所以圆心C的坐标是(3,2),圆心为C的圆的半径长

r|AC|(13)2(12)25. 所以,圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225. 解法2:设圆C的方程为:(xa)2(yb)2r2.

①

因为圆心C在直线l:xy10上,且圆经过点A(1,1)和B(2,2),于是

ab10222

(1a)(1b)r(2a)2(2b)2r2解此方程组,得

4

a3b2. r225圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225. 【设计意图】本道题继续让学生进一步熟悉求圆的标准方程的两种方法. 练习2.已知AOB的顶点坐标分别是A(4,0),B(0,3),O(0,0),求AOB的外接圆的方程. 【设计意图】灵活应用不变量或直角三角形的性质求圆的方程(几何法). 练习3.等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2),底边的一个端点B的坐标是(3,5),求另一个端点C的 轨迹方程. 【设计意图】让学生体会满足方程的点未必是轨迹上的点. 6.课堂小结

Ⅰ. 圆的标准方程． Ⅱ. 点与圆的位置关系的判断方法． Ⅲ. 求圆的标准方程的方法．

7.作业:

必修2作业本 pp.68-69.

九、板书设计

1.圆的标准方程 例1. 例2.

2.点与圆的位置关系

3.求圆的标准方程的方法

十、教学反思

本节课的设计试图遵循学生的认知规律,尽可能让学生有思考和练习的时间(把时间还给学生). 调动学生的主体意识,积极参与到课堂中来.在教学中渗透重要的数学思想和方法,比如:待定系数法、轨迹思想、数形结合思想、函数与方程思想等.

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