3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示全国优秀课堂实录

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计

一、

教学目标

1、

知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，

会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。

2、

过程与方法：通过类比、归纳、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活

动，培养学生的思维能力，体会类比与化归的数学思想，加深对向量的理解。

3、

情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。

二、

教学策略

教学重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

教学难点：如何将平面向量基本定理合理推广到空间向量基本定理，并理解其意义。

教学方法：启发诱导，问题引导，类比探究，师生共同归纳推广。

三、

教学过程

（一）、复习引入：复习向量的共线定理，向量的共线定理，平面向量基本定理，通过几何画板让学生理解平面向量基本定理的本质，强调怎样的两个向量可以作为基底。

师生活动：平面向量可以用怎么样的两个向量表示？如果a,b是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量p，有且只有一对实数x,y，使pxayb。

如果a,bb0共线，当且仅当有唯一一个实数，使ab。因为是唯一的，所以在平面向量基本定理中的x,y也是唯一的。

设计意图：通过复习向量的共线、共面向量基本定理与平面向量基本定理，使学生初步体会类比的数学思想方法，能比较自然的引向空间向量基本定理。

（二）、类比得出结论

师生活动：如果i,j,k是空间中两两垂直的向量，那么对于空间中的任意向量p，存在一个有序实数组x,y,z，使得pxiyjzk，我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k的分向量。

教师给出思考，学生回答，启发：我们可以找到先画一个空间直角坐标系，把i,j,k放在以O为起点的坐标轴上，把p的起点移到坐标原点，通过作图计算。

设计意图：通过作图尝试，使学生直观的体会，并能用最熟悉的空间直角坐标系处理，为一般情况的提出做好铺垫。

（三）、总结升华，得出空间向量基本定理

师生活动：在空间中，如果用三个向量a,b,c能代替三个两两垂直的i,j,k呢？能得出类似的结论吗？对这个三个向量a,b,c有什么要求？让学生回顾前面的引题，得出“三个向量不共面”的结论，通过展示几何画板课件，让学生形象直观体会，师生共同补充完整空间向量基本定理。通过对基底的特殊化处理，引入单位两两垂直的单位向量，得出向量的坐标表示。

设计意图：从两两垂直的i,j,k特殊的基底入手，过渡到一般的基底a,b,c，让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法，通过类比平面向量基本定理，得出空间向量基本定理与空间向量的坐标，使学生体会到类比的数学思想方法。

（四）、探究提炼，深入理解

师生活动：比较空间向量基本定理与平面向量基本定理，并说说它们的区别与联系。主要区别是（1）需要三个不共面向量作为基底，（2）表示的形式不同。主要联系是（1）空间向量基本定理可以看成是平面向量基本定理在空间中的推广，平面向量基本定理是空间向量基本定理的特殊情况（2）解决空间向量的问题可转化为平面向量问题。

设计意图：进一步理解空间向量基本定理与平面向量基本定理的实质。

（五）空间直角坐标系及坐标的定义

师生活动：学习定义，让学生明白空间点及向量的坐标表示

定义巩固：练习一让学生初步在运用中理解概念

（六）定理巩固

师生活动：展示例题—例4：已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，点P,Q是线段MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示向量O OP,OQ. 设计意图：通过让学生独立思考解决问题，初步体会定理的应用，感受

成功的喜悦，树立学好数学的信心。

（七）归纳小结

1．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．

3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三个坐标平面的

平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝OA，y＝OB，z＝OC，

当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0，同理可确定y、z. 4.数学思想方法：类比思想、化归思想. (八)课外作业

课本94页练习1~3题

M Q A P N C B