3.3.4 两条平行直线间的距离PPT及课堂实录内容

两条平行线间的距离

(第2课时) 【课标要求】

1．掌握两条平行线间距离公式的求法；

2．会运用两条平行线间的距离公式解题．

【核心扫描】

1．两条平行线间距离公式的研究探索过程及公式的应用．(重点)

2．两条平行线间距离公式的推导．(难点) 自学导引

1．两平行线间的距离是指夹在两条平行

直线间公垂线段的长，可以转化为点到直线

的距离．

2．两平行线间的距离公式

若两条平行直线l1

：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C

2)，则l1，l2间的距离|C1－C2|为d＝22. A＋B

想一想：1.任意两条直线之间是否都存在距离？

提示

不是的，仅两条直线平行时，这两条直线之间才存在

距离．

2．若点

P到两条直线l1与l2的距离相等，则点在什么样的直线上？

提示

若直线l1与l2相交，则P点在l1与l2构成的角的角平分线上．

若直线l1与l2平行，则P点在l1与l2平行且在l1与l2之间的直线上．

名师点睛

和直线l：Ax＋By＋C＝直线l1：Ax＋By＋C1＝022

0间的距离，可转化为直线l1上一点P(x1，y1)到l2的距离，

|Ax1＋By1＋C2||

－C1＋C2||C2－C1|即d＝＝2222＝22. A＋BA＋BA＋B

注意

(1)运用两平行线间的距离公式时，要求

l1与l2中x，y项的系数一定要对应相等，否则不能运用公式．

(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．

(1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝

x2，则d＝|x2－x1|；

(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝

y2，则d＝|y2－y1|.

题型一

求平行线间的距离

【例1】

求两条平行线l1：6x＋8y＝11和l2：3x＋4y－15＝0的距离．

[思路探索] 求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可利用公式求平行线间的距离，但要注意两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．

解

法一

若在直线l1上任取一点

1

3×＋4×1－152

1A2，1，则点A到直线l2的距离，即为所求的平行线间的距离，

∴d＝32＋42

19＝，如图(1)所示．

10

(1)

(2)

l的距离分别为OF、法二

设原点到l1、OE，2如图(2)所示：OE－OF即为所求．

|－15|

19∴OE－OF＝22－22＝10.

3＋43＋4法三

直接应用两条平行线间的距离公式：

11l1：3x＋4y－＝0，l2：3x＋4y－15＝0，

211－－－15

211－2

∴d＝3＋42219＝. 10

规律方法

求两条平行线之间的距离，可以在其中

的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，

即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离．也|C2－C1|可以直接套用两平行线间的距离公式d＝，若22

A＋B两平行直线x、y的系数不同，则要先化为相同的系数，

再使用距离公式．

【训练1】

两平行线3x＋4y－2＝0和6x＋8y＝5的距离为________．

|5－4|1解析

d＝＝. 10

101

答案

10

题型二

已知距离，求直线方程

【例2】

求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程．

[思路探索] 本题考查两平行线间的距离，由两条直线平行设出方程，然后运用公式求解即可．

解

法一

设所求直线为5x－12y＋m＝0，

∵两直线的距离为2，

|6－m|∴22＝2. 5＋－12∴m＝32或m＝－20.

∴所求直线方程为5x

－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.

法二

设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点

1P00，2，

点P0到直线5x－12y

＋c＝0的距离为

d＝1－12×＋c2|c－6|，

22＝135＋－12

|c－6|由题意得＝2，则c＝32或c＝－20.

13

－12y＋32＝0或5x－12y－∴所求直线方程为5x

20＝0.

规律方法

已知两平行直线间的距离，即可利

|C1－C2|用公式d＝

22求解，也可在已知直线上取一A＋B

点，转化为点到直线的距离．

【训练2】

过点A(2,0)和B(0，－3)两点作两

条平行直线，使它们之间的距离等于3，求这两条直线的方程．

解

显然直线斜率存在，设为k，

则两直线方程分别为y＝k(x－2)和y＋3＝

kx，即

－y－3＝0，

kx－y－2k＝0和kx|2k－3|12于是由2＝3，得k＝0或k＝－.

5k＋1

故所求直线方程为y＝0和y＋3＝0及12＋

15＝0. 5y－24＝0和12x＋5y＋

课后作业：

课堂小结：