3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课一等奖教案

3.1直线的倾斜角与斜率

教学设计

一、问题情境

1. 在初中，我们学习过一次函数y＝kx＋b，（k≠0），知道它的图像是一条直线l，那么满足y＝kx＋b的有序实数对（x，y）与直线l上的点的坐标有什么关系？能否把它推广到一般的二元一次方程和直线？

2. 作出函数y＝2x＋1的图像，研究满足y＝2x＋1的有序实数对与y＝2x＋1的图像上点的坐标的关系．

二、建立模型

1. 学生分析讨论，师生共同总结

（1）有序实数对（0，1）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点A，它的坐标是（0，1）；又如有序实数对（2，5）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点B，它的坐标是（2，5）．

（2）在直线l上取一点P（1，3），则有序实数对（1，3）就满足函数y＝2x＋1；又如在直线l上取一点Q（－1，－1），则有序实数（－1，－1）就满足函数y＝2x＋1．

结论：一般地，满足函数式y＝kx＋b的每一对x，y的值，都是直线l上的点的坐标；反之，直线l上每一点的坐标（x，y）都满足函数式y＝kx＋b，因此，一次函数y＝kx＋b的图像是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为坐标的点构成的．

2. 教师明晰

从方程的角度看，函数y＝kx＋b可以看作二元一次方程y－kx－b＝0，这样“满足一次函数y＝kx＋b的每一对（x，y）的值”，就是“二元一次方程y－kx－b＝0的解x，y”；以方程y

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－kx－b＝0的解为坐标的点就在函数y＝kx＋b的图像上；反过来，函数y＝kx＋b的图像上的任一点的坐标满足方程y－kx－b＝0，这样直线和方程就建立了联系．

一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫作这条直线的方程；这条直线叫这个方程的直线．由于方程y＝kx＋b的图像是一条直线，因而我们今后就常说直线y＝kx＋b．

练习：已知方程2x＋3y＋6＝0．

（1）把这个方程改写成一次函数．

（2）画出这个方程对应的直线l．

（3）判定点（，1），（－3，0）是否在直线ｌ上．

进一步思考如下问题：

哪些条件可以确定一条直线？在平面直角坐标系中，过点Ｐ的任何一条直线l，对x轴的相应位置有哪些情形？如何刻画它们的相对位置？

3. 通过学生讨论，师生共同总结

直线相对x轴的情形有四种，如图所示：

通过分析四种情形，师生共同得出：直线相对ｘ轴的位置情形，可用直线l和x轴所成的角来描述．我们规定：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫作这条直线的倾斜角，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．

问题：（1）在直角坐标系中，画出过点P（－1，2），倾斜角分别为45°，150°，0°，90°的四条直线．

（2）直线的倾斜角的取值范围是怎样的？

通过讨论师生共同明确：直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．在此范围的直角坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角确定一条直线的方向．倾斜角直观地表示了直线相对x轴正方向的倾斜程度．

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从上面的讨论可以看出，直线在坐标系中的倾斜程度可以用倾斜角直观地来表示．我们知道，当一条直线上的两个点确定时，这条直线也就随之确定了，那么现在的问题是：如果已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），那么如何用x1，y1，x2，y来量化直线P1P2的倾斜程度呢？

在教师的启发下，引导学生作如下探索：

直线y＝kx＋b被其上的任意两个不同的点唯一确定（如图22-3）．因此，由该直线上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标可以计算出k的值．

由于x1，y1和x2，y2是直线方程的两组解，所以

y1＝kx1＋b，

y2＝kx2＋b．

两式相减，得y2－y1＝kx2－kx2＝k（x2－x1）．

所以

由直线上两点的坐标求该直线的斜率ｋ与这两点在直线上的顺序无关，可知

如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，则Δx表示变量x的改变量，Δy表示相应的y的改变量．于是

因此，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫作该直线的斜率．垂直于x轴的直线不存在斜率．

想想看：（1）在函数方程y＝kx中，如果ｘ表示某物体运动的时间（t），y表示在时刻x时运动过的距离（m），那么k表示的意义是什么？k＝60，120，…的具体意义是什么？

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（2）如果在函数方程y＝120x中，x表示某商店销售某个商品的数量，y表示销售所得的总收入（元），那么斜率k＝120表示的意义是什么？

进一步引导学生明确下列事实：

除去垂直于x轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，由（*）式就可以算出这条直线的斜率．

方程y＝kx＋b的图像是通过点（0，b）且斜率为k的直线．

对一次函数确定的直线，它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值．直观上可使我们感知到斜率k的值决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．

当k＝0时，直线平行于x轴或与x轴重合，直线的倾斜角等于0°．

当k＞0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大．当k＜0时，直线的倾斜角为钝角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大．

垂直于ｘ轴的直线的倾斜角等于90°．

三、解释应用

［例

题］

1. 求经过A（－2，0），B（－5，3）两点的直线的斜率k．

解：x1＝－2，x2＝－5，y1＝0，y2＝3；

Δx＝－2－（－5）＝3，Δy＝0－3＝－3．

故k＝＝－1，即k＝－1．

2. 画出方程3x＋6y－8＝0的图像．

解：由已知方程解出y，得y＝

这是一次函数的表达式，它的图像是一条直线．当x＝0时，y＝；当x＝2时y＝．

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在坐标平面内描出点A（0，方程的图像（如图22-4）．

），B（2，），则经过A，B两点的直线即为所求一次3. 若三点A（－2，3），B（3，－2），C（C三点共线，所以kAC＝kAB，

，m）共线，求m的值．解：因为A，B，即，解得m＝. 思考总结：研究三点共线的常用方法．

［练

习］

1. 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．

（1）（1，－1），（－3，2）． （2）（1，－2），（5，－2）．

（3）（3，4），（－2，5）． （4）（3，0），（0，）．

2. 已知过点P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，求m的值．

3. 过点P（－1，2）的直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率．

四、拓展延伸

1. 直线的斜率k与直线的倾斜角α之间的关系怎样？

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2. 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P1P2的斜率为k，求证：｜P1P2｜＝－x2｜＝｜y1－y2｜．

｜x13. 某城市出租汽车所收租车费y（元）与行驶路程x（km）之间的关系可用下列关系式表示

你能用斜率来解释这一实际问题吗？

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