3.4 生活中的优化问题举例优质课教学设计

生活中的优化问题举例（第一课时）教学设计

[教材分析] 生活中经常遇到利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最值的有力工具。这一节内容主要是运用导数解决一些生活中的优化问题。

[教学目标] 1、知识与技能

⑴利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；

⑵利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。

2、过程与方法

⑴通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小

值，培养学生的数学思维能力；

⑵通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。

3、情感态度与价值观

逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯

[教学重点与难点] 将实际问题转化成函数问题，利用导数来解决优化问题

[教学过程] 一、复习引入

(1)怎样用导数来判断函数的单调性和求单调区间？

(2)怎样用导数求函数的极值? (3)怎样用导数求函数的最值? 二、讲授新课

什么是“优化问题”？

三、点评课前练习

四、例题解答

例1海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现需设计一张竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm，上下两边各空2dm，左右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小? 问题（1）建立四周空白面积S关于版心高x的函数关系。

（2）求x为多少时，S最小。

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为2128dm,此时四周空白面积为

x

S(x)(x4)(

求导数，得

1285122)1282x8,x0。

xx512。

2x512'令S(x)220，解得x16(x16舍去）。

x1281288。

于是宽为x16S'(x)2当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

例2：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8r分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？

本题中饮料瓶半径的大小决定着制造商的利润的大小，从而将利润转化成关于r的函数，24f(r)0.2r30.8r2(0

3

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

4

yfr0.2r30.8r23r320.8r3r,0

62令fr0.8(r2r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm

时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的

成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm

时，利润最小．

方法小结：通过上面的例子总结用导数解决生活中的优化问题的方法

(1)

把实际问题转化成用函数表示的数学问题

(2)用导数解决数学问题

(3)优化问题的答案。

练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？

【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，

由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x，故有

2150x4500×30＋×40，y′＝－2＋20，

x2x9000令y′＝0，得x

＝15，且y″＝3，f″(15)＞0，

xy

＝所以当x

＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，

故

当x

＝15时，y取得最小值，此时进货次数为150＝10（次）．

15即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

练习：2经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度yx（千米/小时）的函数解析式可以表示为：13x3x8(0x120).12800080

若已知甲、乙两地相距100千米。（I ）若速度为x千米/小时，则汽车从甲地到乙地需行驶多少小时？记耗油量为h(x)升，其解析式为:

(II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

五、课堂小结

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

六、作业

作答

用导数解决数学问题

生活中的优化问题举例（第一课时）课后练习

1、函数f(x)=(x+1)(x2-x+1)的导数是

（

）

A．

x2-x+1

B．(x+1) (2x-1)

C．3x2

D．3x2+1

2、若f(x)ax3bx2cxd(a0)在R上是增函数，则（

）

（A）b4ac0

（B）b0,c0

（C）b0,c0

（D）b3ac0

223、函数yx3axb在(1,1)上为减函数，在(1,)上为增函数，则（

）

（A）a1,b1

（B）a1,bR

（C）a3,b3

（D）a3,bR

4、设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图1所示，则导函数yf/(x)可能为图2中所示的（

）

5、将长为100cm的铁丝剪成2段，各围成正方形，那么两个正方形面积之和最小值为

cm

26、函数y3x22lnx的单调减区间为

。

7、已知函数fxax3bx2，当x1时，fx的极值为3 （1）求a,b的值

（2）求fx的单调区间

32f(x)axbx2xc在x2时有极大值6，在x1时有极小值，求a,b,c8、已知的值；并求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值.