3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计第二课时

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

[学习目标] 1.理解空间向量的正交分解，空间向量的基本定理，能用空间一个基底表示空间的任意向量.2.学会空间直角坐标系的建立方法，掌握空间向量的坐标表示．

知识点一

空间向量基本定理

定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

知识点二

空间向量的正交分解及其坐标表示

(1)单位正交基底

三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．

(2)空间直角坐标系

以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. (3)空间向量的坐标表示

→对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．

题型一

空间向量的基底

例1 已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.

O

M

Q

A

P

N

1 C

B

题型二

用基底表示向量

→→→例2 如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF. →→→→

111→1→1→→1解

连接BO，则BF＝BP＝(BO＋OP)＝(c－b－a)＝－a－b＋c . 222222

1→1→→→→→BE＝BC＋CE＝－a＋CP＝－a＋(CO＋OP) 2211＝－a－b＋c. 22→→→→→1→→AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC) 2111＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c. 222→EF＝CB＝OA＝a. 反思与感悟

(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的；

(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．

题型三

空间向量的坐标表示

例3 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，→建立适当坐标系，求向量MN的坐标．

解

以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，

1→1→1222

2

1111则M(0，，0)，N(，，)．

22221→1∴MN＝(，0，)．

22反思与感悟

建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．

1．已知A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点是A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为(

) A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5 C．λ＝－2，μ＝10，v＝8 D．λ＝2，μ＝10，v＝7 答案

D 解析

∵A与A′关于x轴对称，

λ＝2，∴3－μ＝－7，－1＋v＝6，

λ＝2，⇒μ＝10，v＝7.

2．与向量m＝(0,1，－2)共线的向量是(

) A．(2,0，－4) C．(1,1，－2) 答案

D 11解析

∵(0，，－1)＝m，

221∴与m共线的向量是(0，，－1)．

23．已知向量a，b，c是空间的一个基底，下列向量中可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一个基底的是________．(填序号) ①2a；②－b；③c；④a＋c. 答案

③④

解析

∵p＝2a－b，q＝a＋b，

∴p与q共面，a、b共面．

而c与a、b不共面，

∴c与p、q可以构成另一个基底，

3 B．(3,6，－12) 1D．(0，，－1) 2

同理a＋c与p、q也可构成一组基底．

4.如图在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分→→别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标.AM＝________，OB1＝________.

答案

(－2,0,1) (1,1,2) 解析

∵A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，

→→∴AM＝(0,0,1)－(2,0,0)＝(－2,0,1)，OB1＝(1,1,2)．

→→→5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，→则向量OD用a，b，c表示为________．

11答案

a－b＋c

22→→解析

∵AB＝－2CD，

→→→→∴OB－OA＝－2(OD－OC)，

→∴b－a＝－2(OD－c)，

1→1∴OD＝a－b＋c. 22

1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底惟一表示．

2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示．在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算．

4