信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆PPT及专用教学设计内容

专题七

数学思想方法教书用书

文

第1讲

函数与方程思想、数形结合思想

高考定位

函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在填空题中考查.

1.函数与方程思想的含义

(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法. (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法. 2.函数与方程的思想在解题中的应用

(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. 3.数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.

热点一

函数与方程思想的应用

[微题型1] 不等式问题中的函数(方程)法

【例1－1】 (1)f(x)＝ax－3x＋1对于x∈[－1，1]，总有f(x)≥0成立，则a＝________. 第

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3

(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是________. 解析

(1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；

313当x＞0即x∈(0，1]时，f(x)＝ax－3x＋1≥0可化为a≥2－3. xx313（1－2x）设g(x)＝2－3，则g′(x)＝，

4xxx11所以g(x)在区间0，上单调递增，在区间，1上单调递减，

221因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.

231313当x＜0即x∈[－1，0)时，f(x)＝ax－3x＋1≥0可化为a≤2－3，设g(x)＝2－3，

xxxx且g(x)在区间[－1，0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，

从而a≤4，综上a＝4. (2)设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数. 又当x＜0时，F′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0，

所以x＜0时，F(x)为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x＞0时，F(x)也是增函数. 因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3). 所以，由图可知F(x)＜0的解集是(－∞，－3)∪(0，3). 答案

(1)4 (2)(－∞，－3)∪(0，3) 探究提高

(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)＞0或f(x)＜0恒成立，一般可转化为f(x)min＞0或f(x)max＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解. [微题型2] 数列问题的函数(方程)法

【例1－2】

已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋p·3(n∈N，p为常数)，a1，a2＋6，a3成等差数列. (1)求p的值及数列{an}的通项公式；

n*n24(2)设数列{bn}满足bn＝，证明：bn≤. an9(1)解

由a1＝3，an＋1＝an＋p·3，

得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p. 因为a1，a2＋6，a3成等差数列，

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n

所以a1＋a3＝2(a2＋6)，

即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，

得p＝2，依题意知，an＋1＝an＋2×3. 当n≥2时，a2－a1＝2×3，

1na3－a2＝2×32，…，

an－an－1＝2×3n－1. 将以上式子相加得an－a1＝2(3＋3＋…＋33×（1－3所以an－a1＝2×1－3所以an＝3(n≥2).

又a1＝3符合上式，故an＝3. (2)证明

因为an＝3，所以bn＝n. 3（n＋1）n－2n＋2n＋1*所以bn＋1－bn＝－n＝(n∈N)，

n＋1n＋1333若－2n＋2n＋1＜0，则n＞222212n－1)，

n－1）n＝3－3，

nnnn21＋3，

2即当n≥2时，有bn＋1＜bn，

144又因为b1＝，b2＝，故bn≤. 399探究提高

数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：

(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解. (2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组解. (3)数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可求解. [微题型3] 解析几何问题的方程(函数)法

【例1－3】

设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点. →→(1)若ED＝6DF，求k的值；

(2)求四边形AEBF面积的最大值. 解

(1)依题意得椭圆的方程为＋y＝1，直线AB，EF的方程分别为x4＋2y＝2，y＝kx(k＞0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，an－1≤an，an－1≥an，求a≥a，a≤an＋1n＋1nnx22第

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其中x1＜x2，且x1，x2满足方程(1＋4k)x＝4，故x2＝－x1＝→→由ED＝6DF知x0－x1＝6(x2－x0)，

1510得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝；

27771＋4k由D在AB上知x0＋2kx0＝2，

2得x0＝. 1＋2k210所以＝，

1＋2k71＋4k2化简得24k－25k＋6＝0，

23解得k＝或k＝. 38(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为

|x1＋2kx1－2|2（1＋2k＋1＋4k）h1＝＝，

255（1＋4k）|x2＋2kx2－2|2（1＋2k－1＋4k）h2＝＝. 255（1＋4k）又AB＝2＋1＝5，

所以四边形AEBF的面积为

222222221＋4k2.①

S＝·AB·(h1＋h2) 14（1＋2k）2（1＋2k）＝·5·＝

2225（1＋4k）1＋4k＝21＋4k＋4k≤22，

21＋4k21212当4k＝1(k＞0)，即当k＝时，上式取等号. 2所以S的最大值为22. 即四边形AEBF面积的最大值为22. 探究提高

解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 热点二

数形结合思想的应用

[微题型1] 利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点

【例2－1】 (1)若函数f(x)＝|2－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________. 第

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x

(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x.313又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－，上的零点个数为22________. 解析

(1)由f(x)＝|2－2|－b有两个零点，

可得|2－2|＝b有两个不等的实根，

从而可得函数y＝|2－2|的图象与函数y＝b的图象有两个交点，如图所示. xxx

结合函数的图象，可得0＜b＜2，故填(0，2). (2)根据题意，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，f(x)＝x，

则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x，且g(x)＝|xcos(πx)|，所以当x＝0时，f(x)＝g(x).当x≠0132时，若0

答案

(1)(0，2) (2)6 探究提高

用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数. [微题型2] 利用数形结合思想解不等式或求参数范围

【例2－2】 (1)若不等式9－x≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________. 1(2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是2________. 解析

(1)如图，分别作出直线y＝k(x＋2)－2与半圆y＝9－x.由题意，知直线在半圆的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，所以第

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直线y＝k(x＋2)－2过点(1，22)，则k＝2. 1(2)作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，21故a≤. 21答案

(1)2 (2)－∞，

2探究提高

求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答. [微题型3] 利用数形结合思想求最值

【例2－3】 (1)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x＋y－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________. (2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，866)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________. 解析

(1)从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左1上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝PA·AC21＝PA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两2个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直|3×1＋4×1＋8|线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时PC＝＝3，

223＋4从而PA＝PC－AC＝22. 1所以(S四边形PACB)min＝2××PA×AC＝22. 2(2)设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，根据双曲线的定义可知PF＝2＋PF1，则△APF的周长为PA＋PF＋AF＝PA＋2＋PF1＋AF＝PA＋PF1＋AF＋2，

由于AF＋2是定值，要使△APF的周长最小，则PA＋PF1最小，即P，A，22222y2F1三点共线，如图所示. 由于A(0，66)，F1(－3，0)，

直线AF1的方程为：＋＝1，

－366即x＝xyy26－3，

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代入双曲线方程整理可得

y2＋66y－96＝0，解得y＝26或y＝－86(舍去)，

所以点P的纵坐标为26. 11所以S△APF＝S△AFF1－S△PFF1＝×6×66－×6×26＝126. 22答案

(1)22 (2)126 探究提高

破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.

1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想. 2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解. 3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量. 4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的. 5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的. 6.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象. 第

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