1.1.1 命题教案（名师）

1.1.1

命

题

学习目标

1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.

知识点一

命题的概念

思考1

给出下列语句：

①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；

②3＋6＝7；

③偶函数的图象关于y轴对称；

④5能被4整除. 请你找出上述语句的特点. 答案

上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假. 思考2

命题有哪些表达形式，疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？

答案

命题的表达形式有语言、符号或式子；疑问句、祈使句、感叹句不能作为命题，它们不符合命题必须是陈述句的特点. 梳理

(1)定义

在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)分类

①真命题：判断为真的语句叫做真命题；

②假命题：判断为假的语句叫做假命题. 知识点二

命题真假性的判断

思考

判断下列命题的真假性. (1)函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是π；

11(2)若a>b，则<. ab答案

命题(1)中，y＝cos4x－sin4x＝cos2x－sin2x＝cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题. 11111命题(2)中，当a＝2，b＝－1时，＝，＝－1，<不成立，为假命题. a2bab梳理

数学中判断一个命题是真命题，要经过证明；而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 知识点三

命题的形式

思考1

你能把“内错角相等”写成“若…，则…”的形式吗？

答案

若两个角为内错角，则这两个角相等. 思考2

“内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？

答案

是命题，是假命题. 梳理

命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q. 由p能推出q，则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.

类型一

命题的概念

例1

下列语句：

(1)2是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图象太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素. 其中是命题的是________.(填序号) 答案

(1)(3)(5)(8) 解析

本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假.(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题.故答案为(1)(3)(5)(8). 反思与感悟

一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假. 其流程图如图：

跟踪训练1

下列语句中，是命题的为________. ①红豆生南国；

②作射线AB；

③中国领土不可侵犯！

④当x≤1时，x2－3x＋2≤0. 答案

①④

解析

②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题. 类型二

命题真假的判断

例2

给定下列命题：

①若a>b，则2a>2b；

②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；

π③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；

2→→④在△ABC中，若AB·BC>0，则△ABC是钝角三角形. 其中为真命题的是________. 答案

①③④

π解析

结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sin x的对称轴方程为x＝＋2→→→→→→kπ，k∈Z，故③为真命题；又因为AB·BC＝|AB||BC|cos(π－B)＝－|AB||BC|cos B>0，故得cos B<0，从而得B为钝角，所以④为真命题. 引申探究

→→本例中命题④变为：若AB·BC<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？

→→解

不是真命题，AB·BC<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定.只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形. 反思与感悟

一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一.欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可. 跟踪训练2

下列命题中假命题的个数为(

) ①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②空间中两条直线不相交，两条直线就平行；③函数yπ＝sin 4x－cos 4x的最小正周期为；④空集是任何集合的子集. 2A.1

B.2

C.3

D.4 答案

C 解析

①mx2＋2x－1＝0(m≠0)是一元二次方程；②空间中两条直线不相交，两条直线可能π2ππ平行，也可能异面；③y＝sin 4x－cos 4x＝2sin(4x－)，ω＝4，T＝＝；④空集是任何4ω2非空集合的真子集，故①②④是假命题. 类型三

命题的结构

例3

把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论. (1)相似三角形的对应角相等；

(2)当a>1时，函数y＝ax是增函数. 解

(1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等；

条件p：三角形相似，

结论q：对应角相等. (2)若a>1，则函数y＝ax是增函数；

条件p：a>1，

结论q：y＝ax是增函数.

反思与感悟

把命题改写成“若p，则q”的形式，关键是找到命题的条件“p”和结论“q”.在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这就要求我们能够分清命题的条件和结论. 跟踪训练3

已知命题：弦的垂直平行线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是___________________________________，

q是________________________________________________________________________. 答案

一条直线是弦的垂直平分线

这条直线经过圆心且平分弦所对的弧

解析

已知中的命题改为“若p，则q”的形式为“若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧”，

p：一条直线是弦的垂直平分线；

q：这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.

1.下列语句中，不能成为命题的是(

) A.5>12 B.x>0 C.已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0 D.三角形的三条中线交于一点

答案

B 解析

A是假命题，C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题. 2.有下列命题：

①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直. 其中真命题共有(

) A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

答案

B 解析

①由xy＝0得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；②当a>b时，有a＋c>b＋c成立，正确，所以是真命题；③矩形的对角线不一定互相垂直，不正确，是假命题. 3.下列说法正确的是(

) A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题

C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

D.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题

答案

D 解析

对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D. 4.命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的条件是_____________________，

结论是________________________________________________________________________. 答案

一个四边形是平行四边形

这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

解析

已知命题可改写为“若这一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直.”

5.若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是______________. 9答案

a<且a≠0 82Δ＝－3－4×2a>0，解析

由题意知

a≠0，

9解得a<且a≠0. 8

1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可. 2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中. 40分钟课时作业

一、选择题

1.下列语句中是命题的是(

) A.周期函数的和是周期函数吗？

B.sin 45°＝1 C.x2＋2x－1>0 D.梯形是不是平面图形呢？

答案

B 解析

A，D是疑问句，C中的x的值不确定，不能判断真假，只有B能判断真假，故选B. 2.下列命题为真命题的是(

)

A.互余的两个角不相等

B.相等的两个角是同位角

C.若a2＝b2，则|a|＝|b| D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

答案

C 3.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是(

) A.两个平面

B.一条直线

C.垂直

D.两个平面垂直于同一条直线

答案

D 解析

只要分清命题中的条件和结论即可. 4.下列命题为假命题的是(

) A.log24＝2 πB.直线x＝0的倾斜角是

2C.若|a|＝|b|，则a＝b

D.若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β，则α∥β

答案

C 解析

由|a|＝|b|只是得到a与b的模相等，但方向不确定，∴a与b不一定相等. 5.给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(

) A.4

B.2

C.0

D.－3 答案

C 解析

方程无实根应满足Δ＝a2－4<0，即a2<4，故当a＝0时适合条件. 6.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使得a∈A是假命题的a的取值范围是(

) A.a≥－3

C.a≤－3

答案

D 解析

∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}，

又∵a∈A是假命题，即a∉A，

∴a<－3. 二、填空题

7.已知命题：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是____________________________________________________，

B.a>－3 D.a<－3

q是________________________________________________________________________. 答案

一个点在线段的垂直平分线上

这个点到线段的两个端点的距离相等

8.给出下列命题：

①若ac＝bc，则a＝b；

②方程x2－x＋1＝0有两个实根；

③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；

④若p>0，则p2>p；

⑤正方形不是菱形. 其中真命题是________.(填写序号) 答案

③

解析

①当c＝0时，a与b不一定相等；②Δ＝(－1)2－4<0，方程x2－x＋1＝0无实根；④1当p＝时，p2

{x|x>0} 1解析

当x>0时，有x＋≥2，故A可以为{x|x>0}. x10.下列命题：

①面积相等的三角形是全等三角形；②若ab＝0，则a2＋b2＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④若M∩N＝M，则N⊆M. 其中假命题的个数是________. 答案

4 解析

①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；③当c＝0时不成立；④M∩N＝M说明M⊆N. 三、解答题

11.判断下列命题的真假：

→→→(1)AB＋BC＝AC；

(2)log2x2＝2log2x；

(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实根；

π(4)直线x＋y＝0的倾斜角是；

43π2(5)若α＝，则sin α＝；

42(6)若x∈A，则x∈(A∩B).

解

(1)是真命题；

(2)是假命题，如x＝－1时，log2x2＝0，

而2log2x＝2log2(－1)无意义；

(3)是真命题，若m>1，则Δ＝4－4m<0；

3π(4)是假命题，直线x＋y＝0的倾斜角是；

4(5)是真命题；

(6)是假命题，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}时，1∈A，

但1∉A∩B. 12.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.且指出p和q分别指什么. (1)乘积为1的两个实数互为倒数；

(2)奇函数的图象关于原点对称；

(3)与同一条直线平行的两个平面平行. 解

(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题. p：两个实数乘积为1；q：这两个实数互为倒数. (2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”，它是真命题. p：一个函数为奇函数；q：这个函数的图象关于原点对称. (3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”，它是假命题，这两个平面也可能相交. p：两个平面与同一条直线平行；q：这两个平面平行. 13.给出两个命题：

命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数. (1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙有且只有一个是真命题；

分别求出符合(1)、(2)的实数a的取值范围. 解

(1)甲为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，

1即A＝{a|a>或a<－1}；

31乙为真时，2a2－a>1，即B＝{a|a>1或a<－}. 2甲、乙至少有一个真命题时，

11a的取值范围是{a|a>或a<－}. 321(2)甲、乙有且只有一个真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，

1－1≤a<－. 211所以甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|