习题2.1PPT及课堂实录内容

8．8

直线与圆锥曲线的位置关系

x2y21．已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范5m围是(

) A．(0, 1)

B．(0,5) C．[1,5)∪(5，＋∞)

D．[1,5) x2y2解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆＋＝1外部即可．

5m22xy从而m≥1，又因为椭圆＋＝1中m≠5，所以m的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞).

5m答案：C 2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点．则cos∠AFB＝(

) 43A.

B.

5534C．－

D．－

552y＝4x解析：联立消去y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1，x＝4，不妨设A点在x轴y＝2x－4一、选择题

的上方，于是A，B两点的坐标分别为(4,4)，(1，－2)，又F(1,0)，可求得AB＝35，AF＝5，BF＝2. AF2＋BF2－AB24在△ABF中，由余弦定理cos∠AFB＝＝－.

52×AF×BF答案：D x2y23．已知A、B、P是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)上不同的三个点，且A、B连线经过ab2坐标原点，若直线PA、PB的斜率乘积kPAkPB＝，则双曲线的离心率为(

) 356A.

B.

2215C.2

D.

3解析：因为A、B一定关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x，y)则

y－y1y＋y1y2－y21kPA·kPB＝·＝22，

x－x1x＋x1x－x1由xya－b＝1212212x2y2－＝1，a2b2

y2－y2b21得22＝2，

x－x1ab2151＋2＝.

a32y24．设直线l：2x＋y－2＝0与椭圆x＋＝1的交点为A、B，点P是椭圆上的动点，则4使△PAB面积

1为的点P的个数为(

) 3b22∴2＝，故e＝a3答案：D

A．1

B．2 C．3

D．4 11解析：直线l经过椭圆的两个顶点(1,0)和(0,2)，故|AB|＝5.要使△PAB面积为，即·5·h3212＝，则h＝. 335联立y＝－2x＋m与椭圆方程得8x2－4mx＋m2－4＝0，令Δ＝0，解得m＝±22，即：|±22＋2|2平移直线l到y＝－2x±22时与椭圆相切，它们与l的距离d＝，均大于，故535点P有4个.

答案：D x2y25．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与ab双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(

) A．(1,2)

B．(－1,2) C．(2，＋∞)

D．[2，＋∞) 解析：过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜bc角应不小于l的倾斜角，已知l的倾斜角是60°，从而≥3，故≥2.

aa答案：D y2x·|x|6．直线l：y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为(

) 94A．0

B．1 C．2

D．3

y2x2y2x2解析：当x≥0时，曲线为－＝1；当x＜0时，曲线为＋＝1，如图所示，

949422yx33直线l：y＝x＋3过(0,3)，又由于双曲线－＝1的渐近线y＝x的斜率＞1，故直线l94222222yxyx与曲线－＝1(x≥0)有两个交点，显然l与半椭圆＋＝1(x≤0)有两个交点，(0,3)记了两9494次，所以共3个交点.

答案：D 二、填空题

x2y27．过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M，ab与y轴的交点为B.若AM＝MB，则该椭圆的离心率为__________．

aa解析：如图，直线AB斜率为1，且AM＝MB，故M的坐标为(－，)，代入椭圆的方22222xy1a程2＋2＝1得＋2＝1，即a2＝3b2＝3(a2－c2)，

ab44b

26∴3c2＝2a2，e2＝，e＝.

336答案：

38．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为3的直线交C于A，B两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于__________．

解析：如图，抛物线的准线设为l，D为x轴上F右侧一点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1和B1，由抛物线定义得|FA|＝|AA1|，|FB|＝|BB1|. 又AB斜率为3，∴倾斜角∠AFD＝60°，在梯形AA1B1B中，∠BAA1＝60°，|AB|＝2(|AA1|－|BB1|)，即|FA|＋|FB|＝2(|FA|－|FB|)，得|FA|＝3|FB|.

答案：3 9．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：x2－y2＝1有且仅有一个公共点，则k＝__________. y＝kx＋1，解析：由22得(1－k2)x2－2kx－2＝0. x－y＝1，2当1－k＝0即k＝±1时，方程组唯一解，满足题意；

当1－k2≠0，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，

即k＝±2时，方程组有唯一解，也满足题意.

答案：±1或±2 三、解答题

x2y2310．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的ab2面积为4. (1)求椭圆的方程；

(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在→→线段AB的垂直平分线上，且QA·QB＝4，求y0的值．

c3解析：(1)由e＝＝，得3a2＝4c2. a2再由c2＝a2－b2，得a＝2b. 1由题意，可知×2a×2b＝4，即ab＝2. 2a＝2b，a＝2，解方程组得

ab＝2，b＝1.2x故椭圆的方程为＋y2＝1. 4(2)由(1)可知A(－2,0)，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．

y＝kx＋2，2于是A、B两点的坐标满足方程组x

24＋y＝1.

由方程组消去y并整理，得

(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0. 16k2－4由根与系数的关系，得－2x1＝，

1＋4k2

2－8k24k于是x1＝. 2，从而y1＝1＋4k1＋4k28k2k设线段AB的中点为M，则M的坐标为－1＋4k2，1＋4k2. 以下分两种情况讨论：

→①当k＝0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA＝(－2，－→→→y0)，QB＝(2，－y0)．由QA·QB＝4，得y0＝±22. ②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为

8k22k1y－＝－x＋1＋4k2. k1＋4k26k令x＝0，解得y0＝－. 1＋4k2→→由QA＝(－2，－y0)，QB＝(x1，y1－y0)，

→→QA·QB＝－2x1－y0(y1－y0) 6k－22－8k26k4k＝＋2＋2

221＋4k1＋4k1＋4k1＋4k416k4＋15k2－1＝

1＋4k22＝4. 14214整理，得7k2＝2，故k＝±.从而y0＝±. 75214综上，y0＝±22，或y0＝±. 5x2y2111．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线y＝x＋6与以原点为圆心，ab2以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分1线过定点G(，0)，求实数k的取值范围．

81c1解析：(1)根据题意e＝，即＝，

2a2a2－c2b3∴＝＝1－e2＝. aa2|6|又∵r＝＝b，∴b＝3，a＝2，

1＋1x2y2∴椭圆C的方程为＋＝1. 43(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

x2y24＋3＝1，由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

2y＝kx＋m∴Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，

即m2＜4k2＋3.①

8km由根与系数关系得x1＋x2＝－，则

3＋4k26my1＋y2＝，

3＋4k2

4km3m∴线段MN的中点P的坐标为－3＋4k2，3＋4k2. 又线段MN的垂直平分线l′的方程为

11x－，

y＝－k8由点P在直线l′上，

4km13m1得2－，

2＝－－k3＋4k83＋4k即4k2＋8km＋3＝0. 1∴m＝－(4k2＋3)，

8k4k2＋322由①得2＜4k＋3，

64k155∴k2＞，即k＞或k＜－. 201010∴实数k的取值范围是－∞，－55∪，＋∞. 1010

12．如图，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心1率e＝. 2(1)求椭圆E的方程；

(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；

(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

x2y2解析：(1)设椭圆E的方程为2＋2＝1. ab1c1由e＝，即＝，得a＝2c，

2a2∴b2＝a2－c2＝3c2. x2y2于是椭圆的方程化为2＋2＝1. 4c3c13将A(2,3)代入上式，得2＋2＝1，解得c2＝4. cc2xy2故椭圆E的方程为＋＝1. 16123(2)方法一：由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，于是直线AF1的方程为y＝(x＋2)，即3x－4y4＋6＝0，直线AF2的方程为x＝2. 由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数．

|3x－4y＋6|设P(x，y)为l上任一点，则＝|x－2|. 5若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率为负，故舍去)．

于是由3x－4y＋6＝－5x＋10，得2x－y－1＝0. 故直线l的方程为2x－y－1＝0. 方法二：∵A(2,3)，F1(－2,0)，F2(2,0)，

→→∴AF1＝(－4，－3)，AF2＝(0，－3)．

→→AF1AF211∴＋＝(－4，－3)＋(0，－3) 3→→5|AF1||AF2|4＝－(1,2)．

5从而k1＝2，l：y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0. (3)方法一：假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2，y2)，

y2－y11∵BC⊥l，∴kBC＝＝－. 2x2－x1x1＋x2y1＋y2设BC的中点为M(x0，y0)，则x0＝，y0＝. 22由于M在l上，故2x0－y0－1＝0.①

x2y2x2y21122又点B、C在椭圆上，于是有＋＝1与＋＝1. 161216122222x2－x1y2－y1两式相减，得＋＝0. 1612

x1＋x2x2－x1y1＋y2y2－y1即＋＝0. 16121x1＋x2y2－y11y1＋y2将该式整理为·＋··＝0，并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点82x2－x16211表示代入该表达式中，得x0－y0＝0，即3x0－2y0＝0.②

812①×2－②，得x0＝2，y0＝3. 即BC的中点为点A，这是不可能的．

故不存在满足题设条件的相异两点．

1方法二：假设存在B(x1，y1)，C(x2，y2)两点关于直线l对称，则l⊥BC，从而kBC＝－. 2221xy设直线BC的方程为y＝－x＋m，将其代入椭圆方程＋＝1，得一元二次方程3x2216121－x＋m2＝48. ＋422即x－mx＋m2－12＝0，且x1与x2是该方程的两个根，由根与系数的关系得x1＋x2＝m. 13m于是y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2m＝. 22m3m从而线段BC的中点坐标为2，4. 又线段BC的中点在直线y＝2x－1上，

3m于是＝m－1，得m＝4. 4即线段BC的中点坐标为(2,3)，与点A重合，矛盾．

故不存在满足题设条件的相异两点.