3.1.3 空间向量的数量积运算教学实录及点评

3.1.3

空间向量的数量积运算

【知识与技能】

（1）经历向量数量积运算由平面向空间推广的过程；

（2）掌握空间向量夹角和模的概念及其表示；

（3）掌握空间向量的数量积的计算方法，并能利用向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

【过程与方法】

（1）类比平面向量数量积定义，定义空间向量的数量积，体会空间向量和平面向量的共性与差异；

（2）通过空间向量数量积的性质及运算律的学习，解决立体几何中的相关问题（夹角、距离与垂直问题等）

【情感、态度与价值观】

（1）通过对空间向量数量积的研究学习，进一步培养数形结合、类比等数学思想，培养空间想象力，体会化归思想. （2）运用空间向量的数量积运算，可以使一些问题简单化，培养从复杂问题中抽象出简单问题的能力。

【教材分析】

本节内容把平面向量的数量积运算推广到空间，并利用空间向量数量积来度量空间两条直线的夹角问题和空间线段的长度，进而利用它们证明了空间直线、平面位置的一些定理（三垂线定理和直线与平面垂直的定理）；通过本节内容的学习，使得立体几何的某些问题解决变得简单。

（一）新课讲解：

引入：类比平面向量数量积定义空间向量的数量积. 1．空间向量的夹角及其表示：

已知两个非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAaO,Bb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b2，则称a与b互相垂直，记作：ab. 2．空间向量的数量积：

已知两个非零向量a,b，则|a||b|cosab,叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosab,．

规定：零向量与任意向量的数量积等于0. 3．空间向量数量积的性质：

对于非零向量a,b，有以下性质：

（1）abab0．

（2）aa=aacosa,a=|a|，即|a|（3）cosa,b2a2

abab．

4．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)

（2）abba（交换律）

（3）a(bc)abac（分配律）

（二）思考1.2.3，见课本P90 练一练：

1．判断真假：

（1）若ab=0，则a=0或b=0 ( )

（2）pq(pq)2

（

）

（3）pqpqpq

（

）

（4）(bc)a(ca)b与c垂直. （

）

（三）例题讲解：

例1：如图，在空间四边形ABCD中，AB2，BC3，BD23，2222A

CD3，ABD30，ABC60，求AB与CD的夹角的余弦值.

练习2：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=2BB1,则B

D

C

A1B1C1AB1与C1B所成的角的大小是多少？

CA

B

例2：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直（.三垂线定理）

思考：反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？（三垂线定理的逆定理）

例3：用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理. 已知：直线m,n是平面内的两条相交直线，如果lm,ln

求证：l．

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

ngllmnmg∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

练习3：已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点．

求证：MNAB,MNCD.

(四)小结：空间向量数量积的定义和性质.

①ab=0ab②aa=a=a，也就是说a=a

③cosa，babab222

(五)作业：

课本P98页A组第3、4题