2.5 圆锥曲线的统一定义优秀教学设计

2．5

圆锥曲线的统一定义

[教学目标]

1．了解圆锥曲线的统一定义．

2．能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．

[知识链接]

1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？

1答：

e2．动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？

答：当F∉l时，动点M轨迹是圆锥曲线．当F∈l时，动点M轨迹是过F且与l垂直的直线．

[预习导引]

1．圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

01时，它表示双曲线；

e＝1时，它表示抛物线．

x2y2x2y22．对于椭圆2＋2＝1 (a>b>0)和双曲线2－2＝1(a>0，b>0)中，与F(c,0)对应的准线方ababa2a2程是l：x＝，与F′(－c，0)对应的准线方程是l′：x＝－；如果焦点在y轴上，则两条cca2准线方程为y＝±. c

要点一

统一定义的简单应用

x2y2例1

椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么，P到右焦点的距259离为________．

答案

8 c4解析

如图所示，PF1＋PF2＝2a＝10，e＝＝，

a5

而PF14＝e＝，∴PF1＝2，

2.55

∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8. 规律方法

椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．

一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的第一定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到椭圆的第二定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．

x2y2跟踪演练1 已知椭圆2＋2＝1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线4bb的距离．

x2y23解

法一

由2＋2＝1，得a＝2b，c＝3b，e＝.由椭圆第一定义，

4bb2PF1＋PF2＝2a＝4b，得PF1＝4b－PF2＝4b－b＝3b. PF1由椭圆第二定义，＝e，d1为P到左准线的距离，

d1PF1∴d1＝＝23b，即P到左准线的距离为23b. ePF2法二

∵＝e，d2为P到右准线的距离．

d2c3PF223e＝＝，∴d2＝＝b. a2e3a283又椭圆的两准线的距离为2·＝b，

c38323∴P到左准线的距离为b－b＝23b. 33要点二

应用统一定义转化求最值

x2y2例2 已知椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，86使MP＋2MF之值为最小．

解

设d为M到右准线的距离．

c1MF1∵e＝＝，＝，

a2d2∴MF＝d，即d＝2MF(如图) 12

故MP＋2MF＝MP＋MM′. 2显然，当P、M、M′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M的坐标为(15，3

－1)．

规律方法

本例中，利用椭圆的第二定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．

一般地，像本例这样的问题，若“MF”含有系数，则应考虑用第二定义求解；若不含有系数，则应考虑用第一定义求解．

x2y2跟踪演练2 已知双曲线－＝1的右焦点为F，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M，9163使MA＋MF的值最小，并求这个最小值．

5MF解

过M作MN垂直于双曲线的右准线l于N，由第二定义可知MN＝(如图)．

e

5又a＝3，b＝4，c＝5，e＝，

333∴MN＝MF，∴MA＋MF＝MA＋MN，显然当M、N、A三点共线时MA＋MN＝AN553a2936336为最小，即MA＋MF取得最小值，此时AN＝9－＝9－＝，∴MA＋MF的最小值为，5c555535此时点M(，2)．

2要点三

圆锥曲线统一定义的综合应用

x2y28例3 已知A、B是椭圆2＋＝1上的点，F2是右焦点，且AF2＋BF2＝a，AB的中a925a253点N到左准线的距离等于，求此椭圆方程．

2解

设F1为左焦点，连结AF1，BF1，则根据椭圆定义有：AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2812＝4a－(AF2＋BF2)＝4a－a＝a. 55

再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理有d1＋d2＝2d39＝3，而已知b2＝a2，

25164∴c2＝a2，∴离心率e＝，

255

由第二定义AF1＝ed1，BF1＝ed2，

1212∴AF1＋BF1＝a＝e(d1＋d2)＝，∴a＝1，

55y2∴椭圆方程为x＋＝1. 9252规律方法

问题涉及曲线上的点到焦点的距离时，应考虑用曲线的第一定义．若问题涉及曲线上的点到焦点和对应准线的距离时，应考虑第二定义．本例综合运用了第一定义和第二定义，充分体现了定义在解题时的作用．

x2y2跟踪演练3 设P(x0，y0)是椭圆2＋2＝1(a>b>0)上任意一点，F1为其左焦点．

ab(1)求PF1的最小值和最大值；

x2y2(2)在椭圆＋＝1上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直．

255a2解

(1)对应于F1的准线方程为x＝－，

cPF1根据椭圆的第二定义：＝e，

a2x0＋c∴PF1＝a＋ex0.又－a≤x0≤a，

c∴当x0＝－a时，(PF1)min＝a＋×(－a)＝a－c；

ac当x0＝a时，(PF1)max＝a＋·a＝a＋c. a4(2)∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20，e2＝. 522222∵PF1＋PF22＝F1F2，∴(a＋ex0)＋(a－ex0)＝4c. 4253将数据代入得25＋x0＝40.∴x0＝±. 52代入椭圆方程得P点的坐标为535535535，，－，，，－，222222－53，－5. 22

课堂练习

1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为________．

答案

－10，k>－1，解析

由题意得解得即－10，k<1，

2．已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，→→那么|PF1＋PF2|的最小值是________．

答案

2 →→→→解析

设P(x0，y0)，则PF1＝(－1－x0，－y0)，PF2＝(1－x0，－y0)，∴PF1＋PF2＝(－2x0，→→2－2y0)，∴|PF1＋PF2|＝4x20＋4y0＝2 22－2y0＋y20＝2 2－y20＋2.∵点P在椭圆上，∴0≤y0→→2≤1，∴当y0＝1时，|PF1＋PF2|取最小值为2. →→3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．

答案

(0，2) 2→→解析

∵MF1·MF2＝0，

∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，

由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，

设点P为椭圆上任意一点，则OP>c恒成立，

由椭圆性质知OP≥b，其中b为椭圆短半轴长，

∴b>c，∴c22c2，

c1c22∴()2<，∴e＝<.又∵0

1答案

2解析

由题意，得

m＋n＝c，

②c＝am，

③2n＝2m＋c，

④2222222a2－b2＝c2，

①

由②④可得m2＋n2＝2n2－2m2，

得n2＝3m2

⑤

⑥

⑤代入②得4m2＝c2⇒c＝2m，

⑥代入③得4m2＝am⇒a＝4m.

c1所以椭圆的离心率e＝＝. a2

1．当题目中出现圆锥曲线上的点与焦点的距离即焦半径，焦点弦长有关问题时，常利用圆锥曲线的统一定义(即第二定义)，转化为点到准线的距离来研究．

2．一般来说，涉及两个焦点和曲线上一点，应联想到第一定义．涉及一个焦点和一条准线问题，应联想到第二定义．

3．焦半径公式不必记忆，但会应用圆锥曲线统一定义推导即可．