3.1.1 空间向量及其加减运算课堂实录及点评

3．1.1

空间向量及其加减运算

学习目标

1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律．

知识点一

空间向量的概念

思考

类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．

答案

在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．

梳理

(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a→→也可记作AB，其模记为|a|或|AB|. (2)几类特殊的空间向量

名称

零向量

单位向量

相反向量

相等向量

定义及表示

规定长度为0的向量叫零向量，记为0 模为1的向量叫单位向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

知识点二

空间向量的加减运算及运算律

思考1

下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.

答案

如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α→→→→→→→→内，以任意点O为起点作OA＝a，OB＝b，则OC＝OA＋OB＝a＋b，AB＝OB－OA＝b－a.

思考2

由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量

的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？

答案

先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则．

梳理

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．

→→→OB＝OA＋AB＝a＋b

→→→CA＝OA－OC＝a－b

→→→→→OB＝OA＋AB＝OA＋OC＝a＋b

(2)空间向量加法交换律

a＋b＝b＋a

空间向量加法结合律

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

类型一

有关空间向量的概念的理解

例1

给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，→→b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的个数是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4 答案

C 解析

两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b→满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1成立，故③正确；④显然正确；空间中任意两个单位向量的模必相等，但这两个向量不一定相等，故⑤错误．故选C. 反思与感悟

在空间，平面向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．

跟踪训练1

(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，

→→→→→→→→下列四对向量：①AB与C1D1；②AC1与BD1；③AD1与C1B；④A1D与B1C.其中互为相反向量的有n对，则n等于(

) A．1

C．3

答案

B →→→→→→解析

对于①AB与C1D1，③AD1与C1B长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC1与BD1→→长度相等，方向不相反；④A1D与B1C长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．

(2)判断下列命题的真假．

①空间向量就是空间中的一条有向线段；

②不相等的两个空间向量的模必不相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

→→④向量BA与向量AB的长度相等．

解

①假命题，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．

②假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．

③假命题，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．

→→④真命题，BA与AB仅是方向相反，它们的长度是相等的．

类型二

空间向量的加减运算

B．2 D．4

例2

如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

→→(1)AA′－CB；

→→→(2)AA′＋AB＋B′C′. →→→→→→→解

(1)AA′－CB＝AA′－DA＝AA′＋AD＝AD′. →→→→→→→→→→→(2)AA′＋AB＋B′C′＝(AA′＋AB)＋B′C′＝AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示．

反思与感悟

根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可以按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好．

跟踪训练2

如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．

→→(1)AA1＋A1B1. →→→(2)AA1＋A1M－MB1. →→→(3)AA1＋A1B1＋A1D1. →→→→→(4)AB＋BC＋CC1＋C1A1＋A1A. →→→解

(1)AA1＋A1B1＝AB1. →→→→→→→(2)AA1＋A1M－MB1＝AA1＋A1M＋MD1＝AD1. →→→→→→(3)AA1＋A1B1＋A1D1＝AA1＋A1C1＝AC1. →→→→→(4)AB＋BC＋CC1＋C1A1＋A1A＝0.

1．下列命题中，假命题是(

)

A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等

答案

D 解析

容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．

→2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量AD相等的向量共有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

C →→→→解析

与AD相等的向量有A1D1，BC，B1C1，共3个．

3．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(

) A．a＝b

B．a＋b为实数0

C．a与b方向相同

D．|a|＝3 答案

D 解析

向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反．故D正确．

→→→→→→4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1.其中运算的结果为AC1的有________个．

→→→→→→答案

4 →→→→解析

根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋→→CC1＝AC1；

→→→→→→②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；

→→→→→→③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；

→→→→→→④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1. →所以4个式子的运算结果都是AC1. →→→→→5．化简2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC＝________. 答案

0 →→→→→→→→→→→→解析

2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC＝2AB＋2BC＋2CD＋2DA＋CD＋DA＋AC＝0.

(1)平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．

→(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A1A2＋→→→A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An(n≥2，且n∈N*)．

→→→(3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…→＋AnA1＝0(n∈N*)．

(4)空间向量减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点．

一、选择题

1．下列说法正确的是(

) A．零向量是有方向的向量

B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

→→C．四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是AB＝DC

→→D．若AB与CD是相反向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上

答案

A 解析

规定零向量的方向是任意的，故A正确；B中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，→→故B错误；是必要条件，不是充分条件，因为AB＝DC时，有可能A，B，C，D四点共线，故C错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上．

→→→2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则AB＋BC＋CD为(

) →→→A.AD

B.BD

C.AC

D．0 答案

A →→→→→→解析

AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD. →→→→3．如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则AD为(

)

1A.(a＋b)－c

21C.(b＋c)－a

21B.(c＋a)－b

21D．a＋(b＋c) 2

答案

C 1→→→→1→→解析

AD＝AO＋OD＝－OA＋(OB＋OC)＝－a＋(b＋c)．

22→→→→4．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是(

) →→→A.AB＝BC＋CD

→→→→B.AB－DC＋BC＝AD

→→→→C.AD＝AB＋BC＋DC

→→→D.BC＝BD－DC

答案

B →→→→→→解析

AB－DC＋BC＝AC－DC＝AD. 5．判断下列各命题的真假：

①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为(

) A．2

B．3

C．4

D．5 答案

B 解析

①假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．

→→→6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式DD1－AB＋BC化简后的结果是(

) →A.BD1

→C.B1D

答案

A →→→→→→→→→解析

如图所示，因为DD1＝AA1，DD1－AB＝AA1－AB＝BA1，BA1＋BC→→→→→＝BD1，∴DD1－AB＋BC＝BD1. 二、填空题

→→→7．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＋AD＋AA1＝→→→________；DD1－AB＋BC＝________. →→答案

AC1

BD1

→→→→→→→→→→→→→解析

AB＋AD＋AA1＝AB＋BC＋CC1＝AC1.DD1－AB＋BC＝DD1－(AB－AD) →B.D1B

→D.DB1

→→→＝DD1－DB＝BD1. →→→→→→→→8．对于空间中的非零向量AB、BC、AC，有下列各式：①AB＋BC＝AC；②AB－AC＝BC；③|AB|＋|BC|＝|AC|；④|AB|－|AC|＝|BC|.其中一定不成立的是____________．

答案

②

解析

根据空间向量的加减法运算，对于①：AB＋BC＝AC恒成立；对于③：当AB、BC、AC方向相同时，有|AB|＋|BC|＝|AC|；对于④：当BC、AB、AC共线且BC与AB、AC方向相反时，有|AB|－|AC|＝|BC|.只有②一定不成立．

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝________. 答案

－a＋b－c

→→→解析

如图，A1B＝A1A＋AB

→→→＝C1C＋(CB－CA) →→→＝－CC1＋CB－CA

＝－c＋b－a

三、解答题

10．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式．

→→(1)AB＋BC；

→→→(2)AB＋AD＋AA′；

→→→(3)AB＋CB＋AA′；

→→→(4)AC′＋D′B－DC. →→→解

(1)AB＋BC＝AC. →→→→→(2)AB＋AD＋AA′＝AC＋AA′

→＝AC′. →→→→→→→(3)AB＋CB＋AA′＝AB＋DA＋BB′＝DB′. →→→→→→→→→→→(4)AC′＋D′B－DC＝(AB＋BC＋CC′)＋(DA＋DC＋C′C)－DC＝DC. 11．如图所示，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，

AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出模为5的所有向量；

→(3)试写出与AB相等的所有向量．

→→→→→→解

(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，C1C，→→DD1，D1D这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．

→→→→(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1，D1A，A1D，DA1，BC1，C1B，B1C，CB1共→→→→8个．

→→→→(3)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1，DC及D1C1共3个．

12.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

→→(1)CB＋BA1；

→→1→(2)AC＋CB＋AA1；

2→→→(3)AA1－AC－CB. →→→解

(1)CB＋BA1＝CA1. (2)因为M是BB1的中点，

→1→所以BM＝BB1. 2→→又AA1＝BB1，

→→1→→→→所以AC＋CB＋AA1＝AB＋BM＝AM. 2→→→→→→(3)AA1－AC－CB＝CA1－CB＝BA1. →→→向量CA1，AM，BA1如图所示．

13．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，点E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简

(1)AB→＋BC→＋CD→；

(2)AB→＋GD→＋EC→，并标出化简得到的向量．

解

(1)AB→＋BC→＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→. (2)∵点E，F，G分别为BC，CD，DB的中点．

∴BE→＝EC→，EF→＝GD→. ∴AB→＋GD→＋EC→＝AB→＋BE→＋EF→＝AF→. 所求向量AD→，AF→如图所示．