课题二 测建筑物的高度教学目标

《余弦定理》教学设计

上海市陆行中学

高琴

一教材内容分析

本节课选自上海教育出版社高中一年级第二学期的数学课本第五章《三角比》第6节解斜三角形。这一节约4课时，1课时探究证明正弦定理，1课时探究证明余弦定理，2课时是正余弦定理在解斜三角形中的应用。本节课是第二课时，探究证明余弦定理。

正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法，是对任意三角形“边角边”和“边边边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。

从教材安排来看，《余弦定理》被安排在高一第五章《三角比》的第六节解三角形中，基于特殊到一般的数学思想，从直角三角形切入，提出问题：其他三角形是否有类似的边角关系？直接用坐标法得出定理，再次强调了三角比的定义。而作为沟通代数、几何与三角函数的工具---向量，被安排在余弦定理之后，向量是把图形的基本性质转换成向量的运算体系，简化了运算，课本的这种安排充分地体现向量的优越性。

基于以上分析，本节课重点是：

通过对三角形边角关系的探索，发现并证明余弦定理

二教学目标：

1发现并掌握余弦定理，利用余弦定量能解决一些与三角形边角有关的计算问题。

2.通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定量，体会类比、数形结合、解析等方法在数学中的应用。

3.通过经历一个完整的探究学习过程，使学生体会探究活动的基本规律，培养学生发现问题，探索问题，解决问题的能力。

三．学生学情分析

为了让学生更好的学习本节课，现将学生知识结构和能力水平分析如下：

本节课之前学生已学习过直角三角形、三角比、正弦定理等与本节课紧密联系的内容，使本节课有较多的处理思路。知识结构上，学生会解直角三角形，知道勾股定理，这为几何法证明余弦定理奠定了基础。学生还知道平面直角坐标系中的两点间距离公式和三角比的定义，这为解析法证明余弦定理奠定了基础。正弦定理的证明推导过程也为本节课提供了探究的思路。能力水平上，高一下学期的学生已经具备一定的观察和类比能力，转化和分析问题的能力。可是，在证明过程中，如何使学生自然的将原有的知识与现有的推理相联系，从多个角度去发现和解决问题，自主探究获得定理的证明，从而提高发现问题，探索问题，解决问题的能力，实现学习方式的转变，这是本节课需要突破的。

所以本节课的难点是：

通过对三角形边角关系的探索，发现并证明余弦定理

三．教学过程设计

(一)复习回顾，提出问题

1．复习回顾

问题1：三角形的面积公式

问题2：正弦定理的内容

问题3：正弦定量解决哪类三角形

设计意图：通过回顾正弦定理的形式和解决三角形的类型，让学生认识到正弦定理是解三角形的一种有用工具。

2．千岛湖问题

设计意图：让学生认识到正弦定理是解三角形的一种有用工具，但不是唯一的工具，有些三角形是正弦定理不能解决的，借此引发学生认知冲突，引导学生完善解三角形体系，确定边角边是可以解决的三角形问题，使学生产生进一步探索解决问题的动机。

（二）分析问题，确定方案

1.在直角三角形Rt⊿ABC中，a2=b2+c2.在其他的三角形中三边是否存在着类似的关系呢? 2．在⊿ABC中，已知b，c和A, 求a

学生活动：小组合作，互相讨论，展示成果。

方案一：

2BD2CD2ac22bccosAb2cos2Asin2Ac2b22bccosA方案二：建系，B(ccosA,csinA) 根据两点间的距离公式有:

22

BC

abccosAcsinA.

化简整理a2=b2+c2-2bccosA

设计意图：将原有的知识与现有的推理相联系，从多个角度去发现和解决问题，自主探究获得定理的证明，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。

（三）发现定理，分析内涵

不同方法探究并证明余弦定理之后，通过观察余弦定理结构特征，层层深入，去分析余弦定理的内涵

思考：观察a2=b2+c2-2bccosA的结构，谈一谈你的理解。

设计意图：分析等式的外延和内涵，感受等式的简洁美和对称美，自然得到定理和推论。

（四）解决问题，理解定理

得到余弦定理，现在可以解决千岛湖问题了。

（五）例题展示，巩固定理

例1:在ABC中，已知a6,b31,C45O,求c,A

例2.已知三角形的三边之比为3:5:7，求此三角形　　的最大内角．设计意图：例1巩固余弦定理的应用，也让学生体会正余弦定理在解三角形中的优劣。

例2是余弦定理推论的应用，也为判定三角形的形状提供了一种新的方法。

（六）课堂练习，加深理解

（七）课堂小结，提炼过程

余弦定理的内容是什么？解决什么样的三角形类型？余弦定理发现和证明的过程是怎样的？

（八）布置作业，课后探究

（1）练习册P25 第1，2，3，4题

（2）拓展思考：请上网查找正余弦定理的其他证明方法。

作业一目的是巩固熟悉余弦定理解三角形，作业二目的是对本节课有个整体的认识，从多个角度去发现和证明余弦定理。