3.4 生活中的优化问题举例教学内容概述

第三章第4节

生活中的优化问题举例

课前预习学案

一、预习目标

了解解决优化问题的思路和步骤

二、预习内容

1．概念：

优化问题：_______________________________________________________ 2.回顾相关知识：

（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.

（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。

3：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小(大)值？

4.解决优化问题的基本思路是什么？

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式yf(x)，根据实际问题确定函数yf(x)的定义域；

2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。

难点：在实际问题中，有f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

1

二、学习过程

1.

汽油使用效率最高的问题

阅读例1，回答以下问题：

（1）

是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？

（2）

“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？

（3）

如何根据图3.4-1中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？

2.

磁盘最大存储量问题

阅读背景知识，思考下面的问题：

问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。

（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

阅读背景知识，思考下面的问题：

（1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。

（2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。

（3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？

三、反思总结

通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：

2

四、当堂检测

已知某养猪场每年的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量是400头。每养1头猪，成本增加100元，如果收入函数是R(q)= (q是猪的数量)，每年养多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？（可用计算器）

课后练习与提高

1.打印纸型号设计原理

某种打印纸的面积为623.7cm，要求上下页边距分别为2.54cm，左右页边距分别为3.17cm，如果要求纵向打印，长与宽分别为多少时可使其打印面积最大(精确到0.01cm)？收集一下各种型号打印纸的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理。

【资料】打印纸型号数据（单位：厘米）

型号

宽

高

2.圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能时所用材料最省？

圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？

A5

14.8 21 A4

21 29.7 A3

29.7 42 Legal 21.59 35.56 16开

18.4 26

232开

大32开

13 18.4 14 20.3 B4

25.7 36.4 B5

18.2 25.7

3

§3.4 生活中的优化问题举例

教学目标：

1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式yf(x)，根据实际问题确定函数yf(x)的定义域；

2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。

难点：在实际问题中，有f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

教学方法：尝试性教学

教学过程：

前置测评：

（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.

（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。

【情景引入】

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题

例1.汽油的使用效率何时最高

材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？

通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？

解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v 这样，问题就转化为求g/v的最小值，从图象上看，g/v

4

表示经过原点与曲线上点（v,g）的直线的斜率。继续观察图像，我们发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小，在此点处速度约为90km/h，从树枝上看，每千米的耗油量就是途中切线的斜率，即f’(90),约为0.67L. 例2.磁盘的最大存储量问题

【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

是不是r越小，磁盘的存储量越大？

r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道Rr不存储任何信息，故磁道数最多可达m。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存2r储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达n。所以，磁盘总存储量

Rr2r2r(Rr)f(r)m×nmn

（1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．

（2）为求f(r)的最大值，计算f(r)0．

f(r)2R2rmn

令f(r)0，解得rR2

5

r当RRr2时，f(r)0；当2时，f(r)0．

R2R2r2时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为mn4

因此例3. 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】

某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利

0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

【引导】

先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.

（1）半径为2cm 时，利润最小，这时成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大．

f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的

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【思考】根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤. 【总结】（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式yfx，并确定函数的定义区间；

'（2）求fx，解方程f'x0，得出所有实数根；

（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，

根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。

作业：P114习题3.4第2、4题

7 关键细节 由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．