公因式为多项式的提公司因式法国家优质课一等奖

第2课时

提多项式公因式

1．会确定多项式的公因式；(重点) 2．掌握提多项式公因式进行因式分解．(重点、难点) 一、情境导入

1．因式分解：2ax－4a2y. 2．在多项式2ax－4a2y中，如果把其中的a用(a＋b)替换，则可得到多项式：2(a＋b)x－4(a＋b)2y，还可以进行因式分解吗？如果可以，怎样进行因式分解？

二、合作探究

探究点一：确定多项式公因式

【类型一】

直接确定公因式

把10a2(x＋y)2－5a(x＋y)3因式分解时，应提取的公因式是(

) A．5a

B．(x＋y)2

C．5(x＋y)2

D．5a(x＋y)2

解析：把(x＋y)看作一个整体，系数10和5的最大公约数是5，相同字母分别是a和(x＋y)，其中a的最低次幂是1，(x＋y)的最低次幂是2，所以这个多项式的公因式是5a(x＋y)2，故选D. 方法总结：在确定多项式时，如果多项式中的各部分含有相同的多项式因式，可把这个多项式看作一个整体，然后按照确定单项式公因式的方法确定公因式．即：公因式的系数取各项系数的绝对值的最大公因数，公因式的字母及指数取各项都含有的相同字母的最低次幂．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

【类型二】

通过变形确定公因式

分解2x(－x＋y)2－(x－y)3应提取的公因式是(

) A．－x＋y

B．x－y C．(x－y)2

D．以上都不对

解析：把(x－y)看作一个整体，(－x＋y)2＝(x－y)2，这样原多项式化为2x(x－y)2－(x－y)3，根据公因式的确定方法可知其公因式为(x－y)2.故选C. ＋方法总结：底数互为相反数时，可通过如下两个等式变形：(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n1＋＝－(b－a)2n1(n为正整数)．因此，确定公因式时，原多项式中的部分项的因式可适当变形，在变形时要特别注意符号．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

探究点二：提多项式公因式进行因式分解

【类型一】

提公因式进行因式分解

把下列各式因式分解：

(1)x(x－y)－y(x－y)；

(2)6(x＋y)(x－y)－3(y－x)2. 解析：(1)公因式为(x－y)，提取公因式后两个因式相同，注意写成乘方的形式；

(2)由于(y－x)2＝(x－y)2，所以多项式可化为6(x＋y)(x－y)－3(x－y)2，确定公因式为3(x－y)，提取公因式后再化简即可．

解：(1)x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)(x－y)＝(x－y)2；

(2)6(x＋y)(x－y)－3(y－x)2＝6(x＋y)(x－y)－3(x－y)2＝3(x－y)[2(x＋y)－(x－y)]＝3(x－y)(x＋3y)．

方法总结：提取公因式后，每个因式中都要合并同类项，化为最简形式．一般情况下，最后结果中最多只能含有小括号，而不能含有中括号或大括号等．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型二】

利用因式分解整体代换求值

已知2a＋b＝7，ab＝4，求2a2b＋ab2的值．

解析：原式提取公因式变形后，将2a＋b与ab的值代入计算即可求出值．

解：∵2a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(2a＋b)＝4×7＝28. 方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．

【类型三】

因式分解化简多项式后，求代数式的值

先因式分解，再求值：

(2x＋1)2(3x－2)－(2x＋1)(3x－2)2－x(2x＋1)(2－3x)，其中x＝. 解析：式中除含有公因式(2x＋1)外，将第3项中的(2－3x)改写成－(3x－2)后，还有公因式(3x－2)，故可提公因式(2x＋1)(3x－2)．

解：原式＝(2x＋1)2(3x－2)－(2x＋1)(3x－2)2＋x(2x＋1)(3x－2)＝(2x＋1)(3x－2)[(2x＋1)－(3x－2)＋x]＝(2x＋1)(3x－2)(2x＋1－3x＋2＋x)＝3(2x＋1)(3x－2)．当x＝时，原式＝3×(2×＋1)×(3×－2)＝3×4×＝30. 方法总结：当题中含有幂的底数是多项式时，就要观察是否要把某些项中的这类因式变形才能找出公因式；变形时则要注意根据幂的指数的奇偶性考虑其所在项是否要改变符号；在提取幂的底数是多项式这样的公因式时，要把底数的多项式看作一个整体．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

三、板书设计

1．提公因式时，如果多项式的首项符号为负，常提取一个带“－”号的公因式．

＋＋2．(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n1＝－(b－a)2n1(n为正整数)．

本节课通过提单项式公因式引导出提多项式公因式，学习时可类比提单项式公因式的方法进行．教学中注意底数是互为相反数时的多项式的变形，在式子前面是否要加上负号，并强调提取公因式后剩下的部分一定要化简，并注意不要混淆整式乘法与因式分解