等边三角形的判定第二课时教学设计

课题

第4课时

等边三角形的判定授课人

王彪

与含30°角的直角三角形

理解等边三角形的判定定理及其证明，理解含有30°角的直角三角形的性质定理及其证明，并能利用这两个定理解决知识技能

一些简单的问题.

经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.

经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力.

在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力，在数学活动中获得成功的体验.

教

学

目

标

数学思考

问题解决

情感态度

教学重点

教学难点

授课类型

教具

等边三角形判定定理的发现与证明及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.

含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.

新授课

课时

课件、三角尺、等腰三角形纸片

教学活动

1 教学步骤

师生活动

设计意图

【课堂引入】

欣赏几组图片(多媒体展示)：

活动

一：

创设

情境

导入

新课

图1－1－116 同学们，这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志．

(1)图中的三角形有什么特点？

(2)等边三角形与等腰三角形有什么关系？

(3)等边三角形有哪些特点？

(4)一个三角形满足什么条件时是等边三角形？

通过生活中的图片引入等边三角形，在愉快的氛围中激发学生学习数学的兴趣. 先让学生进行讨论，活动

二：

实践

探究

交流

新知

【探究1】

等边三角形的判定方法(学生板书完成) 问题1：一个三角形满足什么条件时就是等边三角形？

问题2：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？

问题3：你能证明你的结论吗？

定理1：三个角相等的三角形是等边三角形．

得到等边三角形的两个判定定理，再让学生进行证明，教师给予必要的指导.

图1－1－117 已知：如图1－1－117，△ABC中，∠A＝∠B＝∠C. 求证：△ABC是等边三角形．

证明：∵∠B＝∠C，

∴AC＝AB. ∵∠A＝∠C，∴BC＝AB，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形．

定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．

等边三角形的判定定理是本节课的重点．通过对不同的三角形加“边”或“角”两方面不同的条件，使学生体会、融合等边三角形的性质和判定的有关知识．条件加在不同的位置也要分情况讨论，这样在探究过程中充分体现了分类的作用，这对学生提高对数学思想方法的认识起到了渗透作用.

图1－1－118 方法一：已知：如图1－1－118，△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°. 求证：△ABC是等边三角形．

证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C. ∵∠A＝60°，

180°－60°∴∠B＝∠C＝＝60°，

2∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形．

方法二：已知：如图1－1－119，△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°. 求证：△ABC是等边三角形．

证明：∵AB＝AC，∠B＝60°，

∴∠C＝∠B＝60°. ∴∠A＝180°－60°×2＝60°，

∴∠A＝∠B＝∠C，

∴△ABC是等边三角形．

总结：等边三角形的判定定理：

定理1：三个角相等的三角形是等边三角形．

定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．

(学生完成表格，课件展示答案) 名称

性质

等边三角形三条边都相等

等边三角形三个

判定

三条边都相等的三角形是等边三角形

三个角都相等的等边三角形

角都是60°

三角形是等边三角形

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

【探究2】

含30°角的直角三角形的性质

问题1：请同学们用两个含30°角的全等三角尺拼成一个三角形．你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？(学生分组合作完成，并展示所拼图形) 问题2：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．

问题3：在一个含30°角的三角尺中，你能发现什么结论？能用语言形式叙述吗？能证明这个结论吗？

问题1要给学生足够的时间动手操作，然后分组展示自己的成果．

“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是本课的难点，

图1－1－118 已知：如图1－1－118，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°. 活动

三：

开放

训练

体现

应用

1求证：BC＝AB. 2证明：如图1－1－119，延长BC至D，使CD＝BC，连接在难点的突破上主AD. 要采取两种方法：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°. (1)通过三角尺操作的实践活动；(2)对问题进行分步引导的方法．这样在难点的突破上更具有直

观性和可操作性．

图1－1－119 ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°.

又∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，

∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等)，

∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是在例题求解中巩固等边三角形)．

新知．老师纠正学生出现的问题，强调步11∴BC＝BD＝AB. 22骤的规范性. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

图1－1－120 教材例3

求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．

[解析] 这是一道文字叙述题，首先把它用已知、求证的形式转化成图形语言和符号语言．观察图形可以发现在Rt△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ACB，而∠DAC是△ABC的一个外角，且∠DAC＝2×15°＝30°.根据在直角三角形1中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD＝2AC. 已知：如图1－1－，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高．

11求证：CD＝AC＝AB. 22解：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°，

∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角)，

∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. ∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°. 11∴CD＝AC＝AB(在直角三角形中，如果一个锐角等于2230°，那么它所对的直角边等于斜边的一半). 【应用举例】

例1

如图1－1－121，将一个含45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的最大边的长为(

)

活动

三：

开放

训练

体现

应用

加深学生对含30度角的直角三角形A.3 cm

B．6 cm

C．3 2 cm

D．6 2 cm

例2

如图1－1－122，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，性质的掌握，提高学DE⊥AB，垂足分别为D，E.如果AB＝8 cm，则BD＝生灵活解题的能力. ________cm，∠BDE＝________°，BE＝________cm.

【拓展提升】

例4

如图1－1－124，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边上的点，且AD＝BE＝CF，请问△DEF是等边三角形吗？说明理由．

加深试题的综合程度，提升学生综合运用知识解决问题的能力.

图1－1－124

图1－1－125 例5

直角三角形的一个角等于30°，斜边长为4，用四个这样的直角三角形拼成如图所示形状．求正方形EFGH的边长. 【当堂训练】

1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(

) A．①②③

B．①②④

C．①③

D．①②③④

活动

四：

课堂

总结

反思

图1－1－126 2.如图1－1－126，△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，则△BOC的形状是(

) A．等边三角形

B．腰和底边不相等的等腰三角形

C．直角三角形

D．不等边三角形

3.如图1－1－127，某市在“旧城改造”中计划在市内一块三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少要________元．

4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高为________.

图1－1－127

进一步巩固所学新识，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.

【板书设计】

第4课时

等边三角形的判定与含30°角的直角三角形

二、合作探究：

(一)等边三角形的判定定理

(二)含30°角的直角三角形的性质定理

三、例题解析：

四、拓展提高：

提纲挈领，重点突出. 一、等腰三角形的分类

【教学反思】

①[授课流程反思] 本节课通过一组图片，引入等边三角形，让学生体会等边三角形的特点，为下一步探究等边三角形的证明方法做好铺垫．由于学生对等边三角形比较熟悉，因此热情很高，参与积极. ②[讲授效果反思] 本节课的难点在于对30度角定理的理解及应用，属于新的知识点．无论定理的推导还是相关应用，要让学生充分参与，深刻体会定理内容，掌握应用技巧．解题过程中，培养学生获取信息、分析信息的能力. ③[师生互动反思] 教学中，始终坚持以学生为主体，教师为主导，充分调动了学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中，注重学生的体会与感悟，关注学生间的评价.

反思，更进一步提升.