等腰三角形的判定与反证法教学创新设计

第3课时

等腰三角形的判定与反证法

1．探索并理解等腰三角形的判定定理，会运用其进行简单地证明．

2．了解反证法的基本证明思路，并能简单的运用．

自学指导：阅读教材P8，完成下列问题．

知识探究

1．阅读下面的证明过程，完成问题：

已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC. 解法一：过点A作BC的垂直平分线AD，垂足为D. 解法二：作△ABC的角平分线AD. 数学老师看了两种辅助线的作法后，说：解法二是正确的，而解法一的作法需要订正．

(1)请你简要说明解法一辅助线作法错在哪里；

(2)根据解法二的辅助线作法，完成证明过程．

解：(1)AB＝AC是要证明的结论，无法说明点A一定在BC的垂直平分线上，所以解法一中作辅助线的方法不恰当．

(2)证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.

在△ABD和△ACD中，

∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，

AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)．

∴AB＝AC. 2．学习教材P9“例3”，回答下面的问题：

(1)写出该命题的条件和结论．

解：条件：如果一个图形是三角形；

结论：那么该三角形不能有两个角是直角．

(2)假设该命题的结论不成立，即：假设这个三角形中有两个角是直角．

3．小结：

(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”)．

(2)先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．

自学反馈

1．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，那么△ABC的形状是等腰三角形．

2．用反证法证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.

证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则

∠A＋∠B＋∠C<180°.

这与三角形内角和定理矛盾，

故假设错误．

所以在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.

活动1

小组讨论

例1

如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC.

证明：连接BC.

∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB.

∵∠ABD＝∠ACD，

∴∠ABD＋∠DBC＝∠ACD＋∠DCB，

即∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC.

本题主要是通过连接BC，使AB，AC在同一个三角形中，最后通过证明它们所对的角相等，从而证得这两条线段相等．

例2

如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC.

证明：假设AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB.

∵AB＝AC，D，E分别是AC，AB的中点，

∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD.

在△BCD和△CBE中，

CD＝BE，∠ACB＝∠ABC，

BC＝CB，∴△BCD≌△CBE(SAS)．

∴BD＝CE.这与BD≠CE相矛盾．

∴AB＝AC这个假设不成立．

∴AB≠AC.

此题先假设AB＝AC，然后推导出与条件不符的结论，说明假设不成立．

活动2

跟踪训练

1．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角

形中(D) A．有一个内角小于45°

B．每一个内角都小于45°

C．有一个内角大于等于45°

D．每一个内角都大于等于45°

2．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝3_cm．

3．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设四边形中没有一个角是钝角或直角．

4．如图，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E.若∠AFD＝145°，则∠EDF＝55°．

5．如图，△ABC中，BA＝BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F，且交BC于E.求证：△DBE是等腰三角形．

证明：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C.

∵DF⊥AC，

∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠FEC＝90°.

∴∠D＝∠FEC.

∵∠BED＝∠FEC，∴∠D＝∠BED.

∴BE＝BD，即△DBE是等腰三角形．

活动3

课堂小结

1．对于判断三角形是不是等腰三角形这一类问题，常常是抓一个三角形有两个角相等，转化到对应的边相等，可以借助计算，运用平行线的性质，以及同角或等角的余角相等等方法去辅助证明．

2．运用反证法证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果．