等边三角形的判定优秀获奖教案

《等边三角形的判定定理》教学设计

教学目标

1、在具体情境中经历“探索—发现—猜测—证明”的过程,认识证明的必要性。

2、掌握等边三角形的两个判定定理的证明过程,并能用它们证明有关命题。

3、理解定理“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。”的证明思路,并能进行简单应用。

4、通过定理的逻辑证明,让学生逐步学会用数学符号语言有条理地表达思维过程,发展学生的推理意识和能力。

教学重点

探索等边三角形的两个判定定理,以及定理“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。”。

教学难点

证明定理“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。”时辅助线的作法。

教学过程

1、情境导入

观察与思考;

(1)如图,具备什么条件的三角形是等腰三角形?

(2)如图,具备什么条件的三角形是等边三角形?

2、探索定理

(1)探索判定定理:有三个角相等的三角形是等边三角形

(2)探索判定定理:有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形

要分两种情况进行证明。

归纳形成等边三角形的判定定理

(4)探索定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜

边的一半。

补充条件

1

(让学生经历拼摆三角尺的活动,发现结论,同时引导学生意识到,通过实际操作探索出来的结论,还需要给予证明)

[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形.

(1)

D C A

B

(2)

D C

A

B

其中,图(1)是等边三角形,因为△ABD ≌△ACD ,所以AB=AC ,又因为Rt △ABD 中,∠BAD=60°,所以∠ABD=60°,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. [生]图(1)中,∠B=∠C=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,所以∠B=∠C=∠BAC=60°,即△ABC 是等边三角形.

[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形.由此你能得出在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系吗?

[生]在直角三角形中,30°角所对直角边是斜边的一半. [师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明,你能证明它吗?

[生]可以,在图(1)中,我们已经知道它是等边三角形,所以AB=BC=AC .?而∠ADB=90°,即AD ⊥BC .根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得BD=DC=1

2

BC .所以BD=

1

2

AB ,?即在Rt △ABD 中,∠BAD=30°,它所对的边BD 是斜边AB 的一半. [师生共析]这位同学能结合前后知识,把问题思路解释得如此清晰,很了不起.?下面我们一同来完成这个定理的证明过程.

定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,?那么它所对的直角边等于斜边的一半.

分析:从三角尺的摆拼过程中得到启发,延长BC 至D ,使CD=BC ,连接AD . 证明:在△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=60°. 延长BC 至D ,使CD=BC ,连接AD (如下图) ∵∠ACB=60°, ∴∠ACD=90°. ∵AC=AC ,

∴△ABC ≌△ADC (SAS ).

∴AB=AD (全等三角形的对应边相等).

∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).

[例5]右图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,

立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ,AB=7.4m ,∠A=30°,立柱BD 、

DE 要多长?

分析:观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中,由于∠A=30°,所以DE=12AD ,BC=1

2

AB ,又由D 是AB 的中点,所以DE=

1

4

AB . 解:因为DE ⊥AC ,BC ⊥AC ,∠A=30°,由定理知

BC=

12AB ,DE=1

2

AD , 所以BD=1

2×7.4=3.7(m ).

又AD=1

2AB ,

所以DE=12AD=1

2

×3.7=1.85(m ).

答:立柱BC 的长是3.7m ,DE 的长是1.85m .

[师]再看下面的例题.

[例]等腰三角形的底角为15°,腰长为2a ,求腰上的高. 已知:如图,在△ABC 中,AB=AC=2a ,∠ABC=∠ACB=15°,CD 是腰AB 上的高. 求:CD 的长.

分析:观察图形可以发现,在Rt △ADC 中,AC=2a ,

而∠DAC 是△ABC 的一个外角,?则∠DAC=15°×

2=30°,根据在直角三角形中,30°角所对的边是斜边的一半,?可求出CD .

解:∵∠ABC=∠ACB=15°, ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°. ∴CD=

1

2

AC=a (在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).

[师]下面我们来做练习. Ⅲ.随堂练习

(一)课本P146练习

Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=2∠A ,∠B 和∠A 各是多少度?边AB 与BC ?之间有什

D C A

E B D

C

A

么关系?

答案:∠B=60°,∠A=30°,AB=2BC.

(二)补充练习

1.已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.

求证:BD=1

4 AB.

证明:在Rt△ABC中,∠A=30°,

∴BC=1

2 AB.

在Rt△BCD中,∠B=60°,∴∠BCD=30°.

∴BD=1

2 BC.

∴BD=1

4 AB.

2.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍,这个角的平分线把对边分成两条线段.

求证:其中一条是另一条的2倍.

已知:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线.

求证:CD=2AD.

证明:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,

∴∠ABC=60°,∠C=30°.

又∵BD是∠ABC的平分线,

∴∠ABD=∠DBC=30°.

∴AD=1

2

BD,BD=CD.

∴CD=2AD.

Ⅳ.课时小结

这节课,我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系.这个定理是个非常重要的定理,在今后的学习中起着非常重要的作用.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P148─11、12、13、14题.

(二)预习P151~P152,并准备活动课.

1.找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字.

2.思考镜子对实物的改变.

Ⅵ.活动与探究

在三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.

过程:可以从证明“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”.从辅助线的作法中得到启示.