三角形中的角平分线教案和学案内容

角平分线

教学过程设计

1.引入 思考：

要在Ｓ区建一个集贸市场

（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？

（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,

铁路的交叉处4００米，应建在何处？

（比例尺 1：20 000）

2.出示标题，学习目标

3.活动1 动手实践折出角平分线

问题1：请同学们拿出准备好的折纸，自己动手，裁剪出一个角，请快速你将手中的角分成两个相等的角，你有什么办法？

［整合点1］利用动态演示，启发学生建立数学模型 追问1：如果把纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？

追问2：你能说明理由吗，为什么射线OC会是∠AOB平分线？

设计意图：教材中，通过角平分仪平分角的原理，初步感知用尺规作已知角的平分线，并用全等三角形的知识解释.有利于学生直观观察和思考所出示的问题，为得出用尺规作已知角的方法做良好的铺垫。让学生运用全等三角形的知识解释尺规作已知角的工作原理，体会数学的应用价值，最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性. 活动2、感悟实践经验，用尺规作角的平分线

问题1：通过上述活动，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作方法，实在没有思路的同学可以根据提示来思考，寻找答案。

提示：

1、

已知、求作分别是什么？

2、 OM=ON,用尺规怎么画? 3、 CM=CN,用尺规怎么画? Ｏ公路铁Ｓ

通过同伴交流，请学生说出作图过程，一生板演。一生按所说步骤完成示范作图. 已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

追问1：去掉“大于1/2 MN的长”这个条件行吗？

追问2：所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

总结：1．去掉“大于1/2 MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

2．若分别以D、E为圆心，大于1/2 MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，

也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．

设计意图：根据画图过程，从实验操作中获得启示，参与获取知识的发生发展过程，因为知其然，因而不是死记硬背作图过程，而是有感而发，印象深刻. 活动3、经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质

［整合点2］利用多媒体直观优势，突破教学难点．

请同学们拿出课前我们裁剪好的角，刚才我们已经得到了一条折痕，也就是这个角的平分线，接下来把对折后的纸片继续折叠，折出一个直角三角形，而且使斜边在第一次的折痕上，

把纸片展开,并用笔描画出三条折痕（学生动手折叠、展开、描线），观察第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何位置关系？

追问1：它们的长度有何关系？

设计意图：培养学生的动手操作能力和观察能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫． 追问2：下面我们再进行演示，看看同学们得到的结论一定成立吗？

追问3：是因为点P的位置比较特殊吗？下面我们改变点P在OC上的位置，观察PD与PE还相等吗？

追问4：那是因为∠AOB的度数比较特殊吗？下面我们再来改变∠AOB的度数，观察PD与PE还相等吗？

追问5：PD与PE的长也就是什么？

追问6：由此，你能得到什么结论？

设计意图：通过动手实验、观察比较，特别是几何画板的动态演示，让学生去发现发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”. 追问7：要证明这个文字命题，我们首先要做什么？（写出已知和求证）

已知：∠AOC = ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．

求证：PD =PE．

追问8：要证明两条线段相等，你想到通过什么来证明? 追问9：你能把角的平分线的性质用符号语言来表述吗？

追问10：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？

（1）明确命题中的已知和求证；

（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．

设计意图：让学生经历实践→猜想→证明→归纳的过程，体会研究几何问题的基本思路.以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步骤，发展他们的归纳概括能力.而反思性质，在此活动中信息技术体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证。 活动4 、解决简单问题，巩固角的平分线的性质

［整合点3］多媒体的运用，促进了课堂教学方法与模式的变革．

活动5：应用新知 巩固练习1：判一判（判断对错，并说明理由）（1）如下左图，∵

如图，AD平分∠BAC（已知）

，∴BD=CD ( ) BBAADDCC（2）如上右图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．( ) 1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，

DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？

2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则

PE=_____cm. （2）P点到OB的距离_____cm。

1）

（

梦想成真 要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ （前提条件）已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，

D

O

1

2

A

P

C

E

B

点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．

例1 已知:如下右图,在△ABC中,∠BAC=60°点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长

A

A

E

E

B

D

已知:如上左图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:BE=CF.

变式一：已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF 求证:AD是∠BAC的角平分线. 变式二：已知:如图,连接EF.在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.

求: AD与EF关系？

处理方法：教师用多媒体展示问题，学生观察识图，独立思考，并且在小组内讨论交流，找出证明思路，再鼓励学生通过实物投影展示自己的证明过程，教师点评一题多变及一题多解．

设计意图：本组例题的解决是为突出重点、突破难点而设计的一项活动．让学生运用性质解决数学问题，通过利用多媒体对一些边进行变色，提醒学生直接运用定理，不要仍旧去找全等三角形．同时通过信息技术方便进行一题多解及一题多变研究，更好的拓展学生解题思路及形成知识运用能力．两道变题同时展示，符合高效课堂要求．

巩固提高 已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC ∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。

求证：BD＋DE ＝AC A

E

C D b

b变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长

活动6 归纳总结

学生小结：学生讨论，找几个学生总结。

教师小结：

本节课我们经历了探索---猜想---证明得出了用尺规作角的平分线的方法，角的平分线的性质即角的平分线上的点到角的两边的距离相等，那反过来，到角的两边距离相等的点在角的平分线上。. 设计意图：旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，并建立知识体系.

随堂练习1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE_______PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_____∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=

F

C

F

B

D

C

则PE=____. 设计意图：通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力。

活动8【作业】

实践延伸

必做题：

教材p30-3题

选做题：教材p30-4题及课堂所留两道便是思考题。

设计意图：设置必做题的目的是巩固本节课应知应会的内容，面向全体学生，人人必须完成．选做题要求学生根据个人的实际情况尽力完成，使学有余力的学生得到提高，达到“不同的人得到不同的发展”的目的.