测试教学评价实录

2018年01月22日江明欢的初中数学组卷

二次函数的复习

一．解答题（共13小题）

1．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．

2．对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标．

（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线第1页（共35页）

于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

4．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且交y轴于点C，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）在抛物线上是否存在一点N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）连接PB，请探究：在抛物线上是否存在一点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于两点A，B，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为点D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求点E的坐标；

第2页（共35页）

（3）试探究在x轴下方的抛物线上是否存在点F，使得△FOB和△EOB的面积相等，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；

（4）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，请直接写出：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=﹣x+3相交于坐标轴上的A，B两点，顶点为C．

（1）填空：b=

，c=

；

（2）将直线AB向下平移h个单位长度，得直线EF．当h为何值时，直线EF与抛物线y=x2+bx+c没有交点？

（3）直线x=m与△ABC的边AB，AC分别交于点M，N．当直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分时，求m的值．

7．如图，已知抛物线y=ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求tan∠ABC的值；

（3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标．

第3页（共35页）

8．已知：如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）试确定该抛物线的函数表达式；

（2）已知点C是该抛物线的顶点，求△OBC的面积；

（3）若点P是线段BC上的一动点，求OP的最小值．

9．如图，已知抛物线经过A（1，0）、B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OM上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；

②△AON能否为等腰三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．

10．已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直第4页（共35页）

线l是抛物线的对称轴，M为它的顶点

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）求△MCB的面积；

（3）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标．

11．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．

（1）求b、c的值；

（2）P为抛物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标．

12．如图，直线y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于B，C，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A，B，C，点A坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点P是直线BC上方抛物线上的一动点（不与B，C重合），当点P运动到何处时，四边形PCDB的面积最大？求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标；

（3）在抛物线上的对称轴上：•是否存在一点M，使|MA﹣MC|的值最大；‚是否存在一点N，使△NCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点M，点N的坐标；若不存在，请说明理由．

第5页（共35页）

13．已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）

（1）求抛物线的表达式；

（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积．

第6页（共35页）

2018年01月22日江明欢的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共13小题）

1．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．

【分析】（1）直接将（﹣1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；

（2）分别得出AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；

（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，再求△ACM周长最小值．

【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，

∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，

解得：b=﹣，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．

y=（x﹣）2﹣，

第7页（共35页）

∴顶点D的坐标为：（，﹣

）；

（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．

当y=0时，x2﹣x﹣2=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴B （4，0），

∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2．

∴△ABC是直角三角形．

（3）如图所示：连接AM，

点A关于对称轴的对称点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，

MC+MA的值最小，即△ACM周长最小，

设直线BC解析式为：y=kx+d，则解得：，

，

故直线BC的解析式为：y=x﹣2，

当x=时，y=﹣，

∴M（，﹣），

△ACM最小周长是：AC+AM+MC=AC+BC=+2=3．

第8页（共35页）

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及利用轴对称求最短路线和勾股定理的逆定理等知识，得出M点位置是解题关键．

2．对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标．

（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

【分析】（1）利用二次函数对称性即可得出B点坐标；

（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC的解析式，再利用QD=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）进而求出最值．

【解答】解：（1）∵点A（﹣3，0）与点B关于直线x=﹣1对称，

∴点B的坐标为（1，0）．

（2）∵a=1，∴y=x2+bx+c．

∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x=﹣1，

∴∴解得：

，

∴y=x2+2x﹣3，

且点C的坐标为（0，﹣3）．

设直线AC的解析式为y=mx+n，

第9页（共35页）

则解得：∴y=﹣x﹣3

，

，

如图，设点Q的坐标为（x．y），﹣3≤x≤0．

则有QD=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+

∵﹣3≤﹣≤0，∴当x=﹣时，QD有最大值．

∴线段QD长度的最大值为．

【点评】此题主要考查了二次函数最值问题以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，正确得出QD的解析式是解题关键．

3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

第10页（共35页）

【分析】（1）将点B坐标代入直线解析式，求出m的值，然后把A、B坐标代入二次函数解析式，求出a、b，即可求得解析式；

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），表示出PC的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时n的值．

【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，

∴m=6，即B（4，6），

∵A（，）和B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，

∴解得：，

，

∴抛物线的解析式y=2x2﹣8x+6；

（2）存在．

设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+∵﹣2＜0，

∴开口向下，有最大值，

∴当n=时，线段PC有最大值．

，

【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求函数解析式，配方法求最值等知识点，解答本题案的关键是根据解析式设出点P和点C的坐标，第11页（共35页）

列出PC的代数式．

4．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且交y轴于点C，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）在抛物线上是否存在一点N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）连接PB，请探究：在抛物线上是否存在一点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据三角形两边之和大于第三边，可得N在直线OM上，根据解方程组，可得答案；

（3）根据平行线间的距离相等，可得过P点平行BC的直线，根据解方程组，可得Q点坐标，再根据BC向下平移BC与l1相距的单位，可得l2，根据解方程组，可得答案．

【解答】解：（1）将A、B两点代入解析式，得

，

解得．

故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

（2）存在点N使得|MN﹣ON|的值最大．过程如下：

如图1：

第12页（共35页）

作直线OM交抛物线于两点，则两交点即为N点，

y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1．

设BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入函数解析式，得

，解得，

BC的解析式为y=﹣x+3，

当x=1时，y=2，即M（1，2）．

设直线OM的解析式为y=kx，将M（1，2）代入函数解析式，得

k=2．

直线OM的解析式为y=2x．

联立抛物线与直线OM的解析式，可得

解得：，

∴存在点N，其坐标为N1（（3）如图2：

，2），N2（﹣，﹣2）

第13页（共35页）

，

由题意可得：P（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3

∵S△QMB=S△PMB，

∴点Q在过点P且平行于BC的直线l1上，设其交点为Q1；或在BC的下方且平行于BC的直线l2上，设其交点为Q2，Q3，

∴设l1的解析式为y=﹣x+b

把点P的坐标代入可得：b=5

∴设l1的解析式为y=﹣x+5

联立得

解得：（不符合题意，舍），，

∴Q1（2，3）．

根据对称性可求得直线l2的解析式为y=﹣x+1

联立得

解得，

∴Q2（，），Q3（，），

，综上所述，满足条件的点Q共有3个，其坐标分别为Q1（2，3），Q2（第14页（共35页）

），Q3（，）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用同一条直线上两线段的差最大得出N在直线OM上是解题关键；利用平行线间的距离相等得出Q在过P点平行于BC的直线上是解题关键，注意BC下方距的距离是BC与l1相距的单位l2上存在符合条件的点，以防遗漏．

5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于两点A，B，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为点D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求点E的坐标；

（3）试探究在x轴下方的抛物线上是否存在点F，使得△FOB和△EOB的面积相等，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；

（4）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，请直接写出：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

【分析】（1）待定系数法求解可得；

（2）求得直线l的解析式和抛物线对称轴即可得出交点坐标；

（3）根据△FOB和△EOB共底且面积相等可得yF=yE，即x2﹣3x﹣8=﹣4，解之可得答案；

（4）①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE∥PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．

第15页（共35页）

【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、D（6，﹣8）代入y=ax2+bx﹣8，

得：解得：，

，

∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣3x﹣8；

（2）设直线l的解析式为y=kx，

将D（6，﹣8）代入，得：6k=﹣8，

解得：k=﹣，

∴直线l的解析式为y=﹣x，

又抛物线的对称轴为x=﹣=3，

∴点E的坐标为（3，﹣4）；

（3）存在，

设点F（x，x2﹣3x﹣8），

∵S△FOB=S△EOB，即OB•yF=OB•yE，

∴yF=yE，即x2﹣3x﹣8=﹣4，

解得：x=3±，

，﹣4）或（3+，﹣4）．

∴点F的坐标为（3﹣

（4））①如图1

第16页（共35页）

当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．

∵点E坐标（3，﹣4），

∴OE==5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则=，

∴OM=OE=5，

∴点M坐标（0，﹣5）．

设直线ME的解析式为y=k1x﹣5，

∴3k1﹣5=﹣4，

∴k1=，

∴直线ME解析式为y=x﹣5，

令y=0，得x﹣5=0，解得x=15，

∴点H坐标（15，0），

∵MH∥PB，

∴=，即=，

∴m=﹣，

②如图2，

第17页（共35页）

当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．

∵当x=0时，y=x2﹣3x﹣8=﹣8，

∴点C坐标（0，﹣8），

∴CE=∴OE=CE，

∴∠1=∠2，

∵QO=QP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴CE∥PB，

设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x﹣8，

∴3k2﹣8=﹣4，

∴k2=，

∴直线CE解析式为y=x﹣8，

令y=0，得x﹣8=0，

∴x=6，

∴点N坐标（6，0），

∵CN∥PB，

∴∴=，

=5，

=，

第18页（共35页）

∴m=﹣．

③OP=PQ时，显然不可能，理由，

∵D（6，﹣8），

∴∠1＜∠BOD，

∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，

∴∠PQO＞∠1，

∴OP≠PQ，

综上所述，当m=﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=﹣x+3相交于坐标轴上的A，B两点，顶点为C．

（1）填空：b=

﹣4

，c=

3

；

（2）将直线AB向下平移h个单位长度，得直线EF．当h为何值时，直线EF与抛物线y=x2+bx+c没有交点？

（3）直线x=m与△ABC的边AB，AC分别交于点M，N．当直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分时，求m的值．

【分析】（1）由直线y=﹣x+3交坐标轴于A，B两点，求出A（0，3），B（3，0），再把A，B两点的坐标代入y=x2+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求解；

第19页（共35页）

（2）根据“上加下减”的平移规律得出直线EF的解析式为y=﹣x+3﹣h，再把y=﹣x+3﹣h代入y=x2﹣4x+3，整理得到x2﹣3x+h=0．根据直线EF与抛物线没有交点，得出△=（﹣3）2﹣4×1×h=9﹣4h＜0，解不等式即可求出h的取值范围；

（3）先求出抛物线

y=x2﹣4x+3的顶点C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣2x+3．设直线AC交x轴于点D，则D（，0），BD=．再求出S△ABC=S△ABD+S△BCD=3．由直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分，分两种情况讨论：①=，②=，分别求出m的值即可．

【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3交坐标轴于A，B两点，

∴A（0，3），B（3，0），

把A（0，3），B（3，0）代入y=x2+bx+c，

得，解得．

故答案为﹣4，3；

（2）∵将直线AB：y=﹣x+3向下平移h个单位长度，得直线EF，

∴可设直线EF的解析式为y=﹣x+3﹣h．

把y=﹣x+3﹣h代入y=x2﹣4x+3，得x2﹣4x+3=﹣x+3﹣h．

整理得：x2﹣3x+h=0．

∵直线EF与抛物线没有交点，

∴△=（﹣3）2﹣4×1×h=9﹣4h＜0，

解得h＞．

∴当h＞时，直线EF与抛物线没有交点；

（3）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴顶点C（2，﹣1）．

设直线AC的解析式为y=mx+n．

则

，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣2x+3．

第20页（共35页）

如图，设直线AC交x轴于点D，则D（，0），BD=．

∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=××3+××1=3．

∵直线x=m与线段AB、AC分别交于M、N两点，则0≤m≤2，

∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣2m+3），

∴MN=（﹣m+3）﹣（﹣2m+3）=m．

∵直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分，

∴分两种情况讨论：

①当=时，即=，解得

m=±；

②当=时，即=，解得

m=±2

∵0≤m≤2，

∴m=∴当m=或m=2．

或2时，直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分．

【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到抛物线与直线的交点，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，三角形的面积等知识，综合性较强，难度适中．利用方程思想、数形结合与分类讨论是解题的关键．

7．如图，已知抛物线y=ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴．

（1）求这条抛物线的解析式；

第21页（共35页）

（2）求tan∠ABC的值；

（3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标．

【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得a、c的值即可；

（2）过点B作BH⊥AC，垂足为H．过点C作CG⊥AB，垂足为点G．先证明△ABH和△ACG均为等腰直角三角形，然后再求得AC的长，然后利用特殊锐角三角函数可求得BG、GC的长，最后依据锐角三角函数的定义求解即可；

（3）过点D作DK⊥AC，垂足为K，先证明△DCK为等腰直角三角形，则∠DCK=∠BAC，当或时，△CDE与△ABC相似，然后可求得CE的长．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2x+c经过点A（0，1）和点B（9，10），

∴，解得．

∴这条抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1．

（2）过点B作BH⊥AC，垂足为H．

∵AC∥x轴，A（0，1），B（9，10），

∴H（9，1）．

第22页（共35页）

∴BH=AH=9．

又∵∠BHA=90°，

∴△HAB是等腰直角三角形．

∴∠HAB=45°．

∵AC∥x轴，A（0，1），点C也在该抛物线上．

∴C（6，1）

过点C作CG⊥AB，垂足为点G．

∵∠GAC=45°，∠AGC=90°，

∴CG=AC•sin45°=3∴AG=3．

=9．

．

又∵在Rt△ABH中，AB=∴BG=9﹣3=6．

∴在Rt△BCG中，tan∠ABC=

=．

（3）如图2所示：过点D作DK⊥AC，垂足为K．

∵点D是抛物线y=x2﹣2x+1的顶点，

∴D（3，﹣2）．

∴K（3，1）

∴CK=DK=3．

又∵∠CKD=90°，

∴△CDK是等腰直角三角形

∴∠DCK=45°

第23页（共35页）

又∵∠BAC=45°，

∴∠DCK=∠BAC．

∴要使△CDE与△ABC相似时，则点E在点C的左侧．

当∴EC=2，

∴E（4，1）．

当∴EC=9．

∴E（﹣3，1）．

综上所述，当△CDE与△ABC相似时，点E的坐标为E（4，1）或E（﹣3，1）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定，找出△CDE与△ABC相似的条件是解题的关键．

8．已知：如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）试确定该抛物线的函数表达式；

（2）已知点C是该抛物线的顶点，求△OBC的面积；

（3）若点P是线段BC上的一动点，求OP的最小值．

时，则，

时，则，

【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、c的方程组，从而可求得a、c的值，故此可得到抛物线的解析式；

（2）先利用配方法求抛物线的顶点C的坐标，然后依据三角形的面积公式求解即可；

（3）根据垂线段最短可知，当OP⊥BC，即OP是BC边上的高时，OP的值最小．利第24页（共35页）

用两点间的距离公式求出BC，再根据三角形的面积公式求出OP即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+．

（2）∵y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+2，

∴抛物线的顶点C的坐标为（1，2），

∴S△OBC=×3×2=3；

（3）当OP是BC边上的高时，OP的值最小．

∵B（3，0），C（1，2），

∴BC=∵S△OBC=BC•OP=3，

∴OP==，

．

=2．

即OP的最小值是【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积，垂线的性质，两点间的距离公式等知识，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．

9．如图，已知抛物线经过A（1，0）、B（0，3）两点，对称轴是x=﹣第25页（共35页）

1（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OM上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；

②△AON能否为等腰三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；

②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．

【解答】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，

∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，

∴，

解得：a=﹣1，k=4，

∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；

（2）①∵四边形OMPQ为矩形，

∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，

整理得：t2+5t﹣3=0，

解得t=∴当t=，由于t=＜0，故舍去，

秒时，四边形OMPQ为矩形；

②能，Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．

若△AON为等腰三角形，有三种情况：

第26页（共35页）

（I）若ON=AN，如答图1所示：

则Q为OA中点，OQ=OA=，

∴t=；

（II）若ON=OA，如答图2所示：

设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，OQ=OA﹣AQ=1﹣x，

在Rt△NOQ中，由勾股定理得：OQ2+NQ2=ON2，

即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），

∴x=，OQ=1﹣x=，

∴t=；

（III）若OA=AN，如答图3所示：

设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，

在Rt△ANQ中，由勾股定理得：NQ2+AQ2=AN2，

即（x）2+（3x）2=12，解得x1=∴OQ=1﹣x=1﹣∴t=1﹣．

）秒时，△AON为等腰三角形．

，

，x2=﹣（舍去），

当t为秒、秒，（1﹣【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．

第27页（共35页）

10．已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴，M为它的顶点

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）求△MCB的面积；

（3）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先求出直线BC与对称轴的交点，即可得出MN，再用面积之和即可得出结论；

（3）先根据抛物线的对称性，判断出点P是直线BC与抛物线的对称轴l的交点，根据（2）直接得出点P坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，

∴，

∴，

∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+2x+3；

（2）如图1，

由（1）知，抛物线的函数关系式为y=﹣x2+2x+3；

∴抛物线的对称轴为x=1，M（1，4），

第28页（共35页）

∵B（3，0）、C（0，3），

∴直线BC解析式为y=﹣x+3，

当x=1时，y=2，

∴N（1，2）．

∴MN=2，OB=3，

∴S△MCB=S△MNC+S△MNB=MN×OB=×2×3=3；

（3）如图2，∵直线l是抛物线的对称轴，且A，B是抛物线与x轴的交点，

∴点A，B关于直线l对称，

∴PA+PC最小时，点P就是直线BC与直线l的交点，

由（2）知，抛物线与直线BC的交点坐标为（1，2），

∴点P（1，2）．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，对称的性质，解本题的关键是确定出抛物线的解析式，是一道比较简单数第29页（共35页）

形结合的试题．

11．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．

（1）求b、c的值；

（2）P为抛物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标．

【分析】（1）由题意抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，设出函数的解析式，再根据待定系数法求出b，c的值；

（2）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB=8，从而求出P点坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0）

∴解之得，（3分）

，（4分）

∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（5分）

（2）设点P的坐标为（x，y），由题意，得

S△PAB=×4×|y|=8，（6分）

∴|y|=4，

∴y=±4（7分）

当y=4时，x2﹣2x﹣3=4，

∴x1=1+，x2=1﹣（8分）

当y=﹣4时，x2﹣2x﹣3=﹣4，

∴x=1（9分）

∴当P点的坐标分别为、第30页（共35页）

、（1，﹣4）时，S△PAB=8．（10

分）

【点评】（1）第一问考查用待定系数法求函数的解析式，比较简单；

（2）此问主要考查函数的性质及函数图象点的坐标，把三角形面积公式同函数联系起来，是一种比较常见的题型．

12．如图，直线y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于B，C，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A，B，C，点A坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点P是直线BC上方抛物线上的一动点（不与B，C重合），当点P运动到何处时，四边形PCDB的面积最大？求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标；

（3）在抛物线上的对称轴上：•是否存在一点M，使|MA﹣MC|的值最大；‚是否存在一点N，使△NCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点M，点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出B、C两点坐标，设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式，转化为解方程组即可．

（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M，过点C作CE⊥PN于E，根据S四边形PCDB=S△BCD+S△CPM+S△PMB=BD•OC+PM•CE+PM•BN，

构建二次函数，即可解决问题．

（3）①求出直线AC的解析式与对称轴的交点即为点M．

②如图2中，由△CDQ是以CD为腰的等腰三角形，可得CQ1=DQ2=DQ3=CD，作CE⊥对称轴于E，可得EQ1=ED=2，推出DQ1=4，由此即可解决问题．

第31页（共35页）

【解答】解：（1）令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，即点B（4，0），C（0，2）；

设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式得，

，解得：，

∴二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2；

（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M，过点C作CE⊥PN于E，

设M（a，﹣a+2），P（a，﹣a2+a+2），

∴PM=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+∴点D的坐标为：（，0），

∵S四边形PCDB=S△BCD+S△CPM+S△PMB=BD•OC+PM•CE+PM•BN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+，

，

，

∴a=2时，S四边形PCDB的面积最大=∴﹣a2+a+2=﹣×22+×2+2=3，

第32页（共35页）

∴点P坐标为：（2，3），

∴当点P运动到（2，3）时，四边形PCDB的面积最大，最大值为

；

（3）如图2中，

∵A（﹣1，0），C（0，2），

∴直线AC的解析式为y=2x+2，直线AC与对称轴的交点即为点M，此时|MA﹣MC|的值最大，

∴M（，5）．

∵抛物线的对称轴是x=，

∴OD=，

∵C（0，2），

∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=∵△CDN是以CD为腰的等腰三角形，

∴CN1=DN2=DN3=CD．

如图2所示，作CE⊥对称轴于E，

∴EN1=ED=2，

∴DN1=4．

∴N1（，4），N2（，），N3（，﹣）．

=，

第33页（共35页）

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、最值问题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

13．已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）

（1）求抛物线的表达式；

（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积．

【分析】（1）把A，B，C三点坐标代入解析式求出a，b，c的值，即可求出函数解析式；

（2）把x=﹣2代入抛物线解析式求出y的值，确定出D坐标，由OA为底，D纵坐标绝对值为高，求出三角形AOD面积即可．

【解答】解：（1）把A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得：

，

解得：，

则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）把x=﹣2代入抛物线解析式得：y=5，即D（﹣2，5），

∵A（3，0），即OA=3，

∴S△AOD=×3×5=．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本第34页（共35页）

题的关键．

第35页（共35页）