等腰三角形的判定与反证法特级教师教学实录

第一章

三角形的证明

1. 等腰三角形（三）

授课人：广汉市宏华外国语学校 吴红梅

一、学情分析

本节课是等腰三角形的第三课时，学生已经掌握了三角形全等的判定方法以及等腰三角形的相关性质，并知道了用综合法证明命题的基本要求和步骤。为学习等腰三角形的判定定理奠定了知识和方法的基础。

二、教学任务分析

本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明。这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一。

教学目标：

1.

理解和掌握等腰三角形的判定定理，并会运用其进行证明和计算．

2.体会反证法的含义，并能利用反证法进行简单的证明. 3.

培养学生的逆向思维能力．

教学重点与难点：

重点：等腰三角形的判定定理的证明. 难点：反证法的含义，用反证法证明简单的命题. 三、教学过程分析

本节课的教学过程设计了以下六个环节：复习引入--逆向思考，定理证明---巩固练习----适时提问，导出反证法---拓展延伸----课堂小结。

教学过程：

第一环节

回顾旧知

复习导入

师：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？

生1：等腰三角形两底角相等，就是“等边对等角”。

生2：“三线合一”。

生3：等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等。

师：非常好！同学们概括的很全面。那么对于等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等，这个命题的题设和结论是什么？

生：题设：等腰三角形。结论：两底角相等。

师：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？

生：完全成立，可以证明出来。

设计意图：设计成问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段。

第二环节

合作探究 展示交流

师：以前我们通过改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．比如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?下面我们来一起证明一下这个结论。请同学们画出图形，写出已知、求证。

学生活动：在练习本上画图，写出已知、求证，完成证明命题的前两步。找一个同学黑板板书。

生：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，

求证：AB=AC，

ABC师：同学们完成的很好，下面怎样来完成证明过程哪？（停顿一下，给学生思考时间。）同学们回想一下，我们是怎样证明“等边对等角的”? 生1：作辅助线构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了。

生2：由前面定理的证明的方法，通过作BC的中线，或作∠A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形。

师：很好！同学们小组讨论下这三种证明方法。

学生活动：分三组，用三种方法证明，并由三名学生展示本组证明方法。

在展示过程中，有一个小组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能够判断两个三角形全等的。他们的两种方法是可

行的。

师：请同学们任选一种方法证明，另外请两名同学分别用两种不同的证明方法给出证明过程。

生1：方法一：证明：作AD⊥BC于D 在△ABD和△ACD中

∵∠B=∠C, ∠BDA=∠CDA, AD=AD ∴

△ABD≌△ACD (SSS) ∴ AB=AC （全等三角形的对应边相等）

生2：方法二：作△ABC顶角∠A的角平分线AD交BC与D. 在△ABD和△ACD中

∵∠B=∠C, ∠BAD=∠CAD, AD=AD ∴

△ABD≌△ACD (AAS) ∴

∠B=∠C （全等三角形的对应边相等）

教师活动：多媒体展示

等腰三角形的判定定理：

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. (等角对等边.) 在△ABC中

∵∠B＝∠C（已知），

∴AB=AC（等角对等边）.

师：下面我们利用这个定理解决一道例题（多媒体展示教材例2）。

例2已知：如图AB=DC,BD=CA. 求证：△AED是等腰三角形

ABD CABC

学生活动：观察图形，仔细动脑思考，小组讨论。学生代表来黑板书写证明过程。

证明:在△ABD和△DCA中

∵AB=DC, BD=CA，AD=DA ∴

△ABD≌△DCA (SSS) ∴∠ ADB=∠DAC ∴AE=DE(等角对等边) ∴

△AED是等腰三角形

设计意图：引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确的添加辅助线，通过学生亲自书写的解题过程引导学生思考证明“等角对等边”既可以做底边上的高线也可以作顶角的角平分线，但不适合作底边上的中线.通过学生板书规范的推理过程，鼓励学生一题多解。

第三环节 适时提问 导出反证法

师：我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”：（多媒体展示）

想一想

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?

学生活动：积极动脑思考，小组交流讨论。

生：我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的。不知该怎么办？。

师: 的确如此．像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢? （给出一则小故事：路边苦李，引出反证法的推理步骤，进而引发同学思考。）

教师活动：课件展示“反证法”

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立. 这种证明方法称为反证法

(继续多媒体展示)

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC 你能理解他的推理过程吗?

学生活动：反复看课件，理解这位同学的方法，表情充满疑惑。

BAC师：上面的方法中小颖同学先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知相矛盾的结论，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法。

学生活动：打开课本第九页阅读并理解反证法，明确反证法的步骤。

师：同学们可能对反证法还是比较疑惑，我再给大家举个例子：一个三角形中能不能有两个直角？

生：不能，要是有两个直角，三个内角的和就超过180度了。绝对不能。

师：那么怎样用反证法写出证明过程哪？（多媒体展示教材例3）

例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角

已知：△ABC．

求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．

证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．

这与三角形内角和定理矛盾，

所以∠A=∠B=90°不成立．

所以一个三角形中不能有两个角是直角

设计意图：让学生明确当用综合法证明命题行不通时，我们要有探究一种新方法的欲望，结合课本小明的想法初步感受反证法，体会反证法在证明中出人意料的作用.）

第四环节

训练反馈、应用提升

1. 如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长. . A

M B D N C

2.用反证法证明：△ABC中至少有两个锐角.

设计意图：通过对这两道题的练习，训练学生等腰三角形判定定理和反证法的应用。在学生书写或口答的过程中，加强学生书写和语言的规范性。

第五环节

归纳总结

拓展提高

师：通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？（多媒体展示）

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．

（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路。

学生活动：回顾本堂课内容，积极回答。

板书设计

1.1.3 等腰三角形

定理：有两个角相等的

例2 已知：

反证法：

例3用反证法证明

三角形是等腰三角形

求证：

等角对等边

证明：

教学反思：

本节课利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的判定定理.在从“等边对等角”过渡到研究“等角对等边”的过程中发展了学生的逆向思维能力，并且学生在证明这一命题时也采用了类比的研究方法；在反证法的学习过程中，学生通过辩论的方式发现了反证法具有意想不到的说理效果，课堂气氛十分活跃. 本节课充分体现了学生的主体地位,多让学生自己去观察、思考、发现、表达，培养学生获取信息、提出问题、分析问题、解决问题、自我反思的能力.