阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系教案和课堂实录

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数

教学目标

1. 会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

3. 根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系．

教学重点

1. 根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系．

2. 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题

课时安排

3课时.

1

教师备课系统──多媒体教案

教案A

第1课时

教学内容

22.3 实际问题与二次函数（1）．

教学目标

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

教学重点

求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程

一、导入新课

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．从这节课开始，我们就共同解决这几个问题．

二、新课教学

问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．

然后让学生计算当t＝1、t＝2、t＝3、t＝4、t＝5、t＝6时，h的值是多少？

再让学生根据算出的数据，画出函数h＝30t－5t2

(0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．

根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．

教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题．

b4acb230302当t＝－＝－＝3时，h有最大值＝＝45．

2a4a2(5)4(5)2

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．

问题2 如何求出二次函数

y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值？

学生根据问题1归纳总结：当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低b4acb22（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax＋bx＋c有最小（大）值．

2a4a三、巩固练习

探究1 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？

教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值．

解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长（面积S＝l(30－l)，即S＝－l2＋30l（0＜l＜30）．

60－l）

m．场地的2b4acb230302因此，当l＝－＝－＝15时，S有最大值＝＝225．也2a4a2(1)4(1)就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大．

四、课堂小结

利用二次函数解决实际问题的过程是什么？

找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值．

五、布置作业

习题22.3 第1、4题．

第2课时

教学内容

22.3 实际问题与二次函数（2）．

教学目标

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

3．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．

教学重点

1．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．

2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

3

教师备课系统──多媒体教案

教学过程

一、导入新课

复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．

二、新课教学

探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量．在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化．调整的价格包括涨价和降价两种情况．

（1）我们先看涨价的情况．

设每件涨价x元，每星期则少卖l0x件，实际卖出(300－l0x)件，销售额为(60 + x) (300－l0x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60+x)(300－l0x)一40(300－l0x)，即y＝－l0x2+100x+6 000．

列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定x的取值范围呢？

由300－l0x≥0，得x≤30．再由x≥0，得0≤x≤30．

根据上面的函数，可知：

当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．

（2）我们再看降价的情况．

设每件降价x元，每星期则多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x) (300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元．因此，所得利润

y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，

即

y＝－20x2＋100x＋6 000．

怎样确定x的取值范围呢？

由降价后的定价(60－x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x≤20．

当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元．

由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？

学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大．

三、巩固练习

1．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数，则y与x之间的关系式是

，销售所获得的利润为w（元）与价格x（元/件）的关系式是

．

2．某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.设每件商品降价x元，总利润为y元，请你写出y与x的函数关系式，并分析，当销售单价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？

参考答案：1．y＝－30x＋96 0，w＝(x－16)(－30x＋960) 2．

y＝(13.5－x－2.5)(500＋200x)＝－200x2＋1 700x＋550 0，顶点坐标为（4.25，4

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

9112.5），即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5－4.25＝9.25时，可取得最大利润9112.5元．

四、课堂小结

今天你学习了什么？有什么收获？

五、布置作业

习题22.3 第8题．

第3课时

教学内容

22.3 实际问题与二次函数（3）．

教学目标

1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

教学重点

1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．

2．将实际问题转化成二次函数问题．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程

一、导入新课

复习二次函数y＝ax2的性质和特点，导入新课的教学．

二、新课教学

探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？

教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？

因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．

教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．

5

教师备课系统──多媒体教案

如上图，设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax．由抛物线经过点(2，－2)，可得

－2＝a×22，

2a＝－

这条抛物线表示的二次函数为y＝－1．

212

x．

2当水面下降1m时，水面的纵坐标为－3，根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为6，－6，据此可求出这时的水面宽度是26．

答：水面下降1m，水面宽度增加26－4m．

三、巩固练习

某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示．

根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离4x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋．

5（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少? （2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内? 教师让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题（1）就是求4函数y＝－x2＋2x＋最大值，问题（2）就是求右图B点的横坐标．

5学生独立解答，教师巡视指导，最后让一两位同学板演，教师讲评．

四、课堂小结

今天你学习了什么？有什么收获？

五、布置作业

习题22.3 第6、7题．

6

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

教案B

第1课时

教学内容

22.3 实际问题与二次函数（1）．

教学目标

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

教学重点

求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程

一、导入新课

同学们好，我们上节课学习了二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究．

二、新课教学

问题

从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．然后画出函数h＝30t－5t2 (0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．

根据函数图象，可以观察到当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．也就是说，当小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m．

一般地，当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是b4acb22说，当x＝－时，二次函数y＝ax＋bx＋c有最小（大）值．

2a4a探究1 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？

教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值．具体步骤可见教材第50页．

三、巩固练习

1．已知一个矩形的周长是100 cm，设它的一边长为x cm，则它的另一边长为

7

教师备课系统──多媒体教案

______cm，若设面积为s cm2，则s与x的函数关系式是__________，自变量x的取值范围是________．当x等于_____cm时，s最大，为_______ cm2. 2．已知：正方形ABCD的边长为4，E是BC上任意一点，且AE=AF，若EC=x，请写出△AEF的面积y与x之间的函数关系式，并求出x为何值时y最大．

参考答案：

1．50－x，s=x(50－x)，0

2．y＝－12x＋4x，当x＝4时，y有最大值8．

2四、课堂小结

今天学习了什么，有什么收获？

五、布置作业

习题22.3 第1、4题．

第2课时

教学内容

22.3 实际问题与二次函数（2）．

教学目标

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

3．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．

教学重点

1．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．

2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程 一、导入新课

复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．

二、新课教学

1．探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函数关系式．具体8

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

步骤见教材第50页．

2．巩固练习

重庆某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区1政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P＝－

(x－30)2＋10万元，为了响应我50国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万49194元可获利润Q＝－(50－x)2＋

(50－x)＋308万元．

505（1）若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少? （2）若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少? （3）根据（1）（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．

教师引导学生先自主分析，小组进行讨论．在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题．

1解：（1）若不开发此产品，按原来的投资方式，由P＝－

(x－30)2＋10知道，只50需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为

M1＝10×10＝100万元．

（2）若对该产品开发，在前5年中，当x＝25时，每年最大利润是：

1P＝－

(25－30)2＋10＝9.5（万元）．

50则前5年的最大利润为

M2＝9.5×5＝47.5万元．

49194设后5年中x万元就是用于本地销售的投资，则由Q＝－

(50－x)＋(50－x)505＋308知，将余下的(50－x)万元全部用于外地销售的投资．才有可能获得最大利润．

则后5年的利润是

149194M3＝[－(x－30)2＋10]×5＋(－x2＋x＋308)×5 50505＝－5(x－20)2＋3500．

故当x＝20时，M3取得最大值为3500万元．

∴10年的最大利润为M＝M2＋M3＝3547.5万元．

（3）因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值．

三、课堂小结

今天你学习了什么？有什么收获？

四、布置作业

习题22.3 第8题．

9

教师备课系统──多媒体教案

第3课时

教学内容

22.3 实际问题与二次函数（3）．

教学目标

1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

教学重点

1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．

2．将实际问题转化成二次函数问题．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程

一、导入新课

复习二次函数y＝ax2的性质和特点，导入新课的教学．

二、新课教学

探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？

教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？

因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．

教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．

设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．由抛物线经过点(2，－2)，可得这条抛物线表示的二次函数为y＝－12x．

2当水面下降1m时，水面宽度就增加26－4 m．

三、巩固练习

一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超10

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

过1 m？

分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标．因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．

2．让学生完成解答，教师巡视指导．

3．教师分析存在的问题，书写解答过程．

解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．

这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为

y＝ax2

(a＜0)

①

AB因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8（m），又OC＝2.4 m，所以点B2的坐标是(0.8，－2.4)．

因为点B在抛物线上，将它的坐标代人①，得－2.4＝a×0.82

所以

15

a＝－

4因此，函数关系式是

15

y＝－x2

②

4∵OC＝2.4 m，FC＝1.5 m，∴OF＝2.4―1.5＝0.9（m）．

将y＝－0.9代入②式得

15－0.9＝－x2

466，x2＝―．

556涵洞宽ED＝2≈0.98＜1．

5解得

x1＝四、课堂小结

今天你学习了什么？有什么收获？

五、布置作业

习题22.3 第6、7题．

11