正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教学创新设计

24.3

正多边形和圆(第1课时) 一、内容及其解析

1．内容

正多边形的相关概念．

2．内容解析

正多边形是生活中常见的图形，生活中许多设计都呈现正多边形的形状，因此正多边形的有关计算在生活中经常用到．正多边形和圆关系密切，只要把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形．正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念也与正多边形所在的外接圆关系密切，这些概念是进行与正多边形有关计算的基础．

基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：正多边形的有关计算问题．

二、目标及其解析

1．目标

(1)理解正多边形与圆的关系．

(2)理解正多边形的有关概念，会进行与正多边形有关的计算．

2．目标解析

达成目标(1)的标志是：理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形．

达成目标(2)的标志是：理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积．

三、教学问题诊断分析

学习本节课，学生具备三角形、正多边形、圆等相关的知识储备，但是由于与正多边形相关的概念比较多，学生容易混淆．另外，在进行与正多边形有关的计算时，学生还不能很快的利用所学知识将正多边形的计算问题转换成解直角三角形的问题．

本课的教学难点是：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决．

四、教学过程设计

1．新课引入

问题1

出示生活中正多边形的图片．

1

师生活动：学生观察图片感受生活中正多边形．

设计意图：感受生活中正多边形，体会正多边形的美．

2．小组合作学习问题

问题1 什么叫正多边形? 师生活动：学生在教师的指导下利用前面所学习的知识得到，各边相等、各角相等的多边形叫正多边形．

问题2 正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？

教师演示：正多边形都是轴对称图形，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形。

问题3 如何画出一个正多边形呢？

追问：如何画出圆的内接正五边形呢？

师生活动：学生在教师的指导下利用前面所学习的同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等，通过等分弧画出圆的内接正多边形．

设计意图：感受知识间的联系，学会利用所学的知识解决新问题．

追问1：什么是正多形的边心距、半径？

师生活动：学生在教师的指导下利用前面所学习的知识得到，正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

追问2：什么叫正多边形的中心角？

师生活动：学生在教师的指导下利用前面所学习的知识得到，正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．

追问3：正n边形的中心角度数如何计算？

师生活动：学生在教师的指导下利用前面所学习的知识得到，中心角的度数＝追问4：正n边形的一个外角度数如何计算？

360．

n2

师生活动：学生在教师的指导下利用前面所学习的知识得到，一个外角的度数＝设计意图：培养学生分析问题解决问题的能力．

3．探究学习

360．

n问题4

如图，有一个小亭子，它的地基是半径为4米的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位)．

师生活动：学生在教师的指导下利用前面所学习的知识思考并回答下面的问题：

(1)亭子的地基是什么图形？要求地基的周长和面积也就是求什么图形的周长和面积？

(2)正六边形的半径，分别将它割成多少个什么样子的三角形？(等腰三角形)

(3)观察图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？(全等，依据(S．S．S)或(S．A．S)．) (4)将上图中的结论推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法？(正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．) (5)作出等腰三角形底边上的高，观察、思考并回答以下问题：

这些等腰三角形的每一条高都将每个等腰三角形分割为两个直角三角形，这两个直角三3

角形全等吗？为什么？

这些等腰三角形的高在正多边形中的名称是什么？(边心距) 正n边形的n条半径、n条边心距将正n边形分割成全等直角三角形的个数是多少？(2n个) 得出结论：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．

观察每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成．

(直角三角形的斜边是正多边形的半径R、一条直角边是正多边形的边心距．另一直角边是正多边形边长的一半，半径与边心距的夹角是正多边形一个中心角的一半．)

师生活动：教师引导学生归纳：由于这个直角三角形融合了正多边形诸多元素，所以就可将正多边形有关半径、边心距、边长、中心角的计算问题归结为解直角三角形的问题来解决．分析后由学生自己解决此问题．

设计意图：使学生感受到正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的问题来解决，所以我们只要画出这个直角三角形就可以了，其余就不画或略画．

4．练习强化

(1) 正多边形边数

3 4 6 内角

中心角

外角

4

n (2) 正多边形边数

3 4 6

半径

边长

2√3

边心距

1 √3 周长

面积

(3). 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是_ 师生活动：教师引导学生利用知识进行填空．

设计意图：巩固学生对知识的理解和应用能力. 5.

拓展练习

(1)如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 （ ）A．60° B．45° C． 36° D． 30°

A B E OO. C C D (2)要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是___cm. (3)

如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形ABC和圆内接正四边形ABCD的边长、边心距和面积． 设计意图：考查学生运用知识解决问题的能力．

6.目标检测

5

如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为____ cm.

设计意图：考查学生运用知识解决问题的能力．

五.课堂小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

(1)正多边形与圆有什么关系？

(2)本节课学习了哪些与正多边形有关的概念？在解决有关的计算问题时，关键是什么？

六．结束寄语

不是每一次努力都有圆满的结局，

也不是每一次付出都有收获的喜悦，

但是，只要你用心做过，

你就会拥有一个无怨无悔的青春！

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