1.2.1 充分条件与必要条件教学设计一等奖

1.2.1充分条件与必要条件

［教学目标］

一：知识目标

1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；

2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；

二：能力目标

1．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；

2．通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力；

三：情感目标

1.通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；

2.通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯；

3、通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神.

[教学重难点] 重点：充分条件、必要条件的概念；

难点：充分条件、必要条件的判断；

[教学过程] 一、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

3．请判断下列命题的真假：

2222（1）若xy,则xy; （2）若xy,则xy; （3）若x1,则x21;

（4）若x21,则x1

二、讲授新课

1.推断符号“”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:“pq”;

如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“pq”.

用推断符号“和

”写出下列命题：⑴若ab，则acbc；⑵若ab，则acbc；2．充分条件与必要条件

一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“pq”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p.

充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即qp）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

（1）充分必要条件（充要条件），即

pq且qp；

（2）充分不必要条件，即pq且qp；

（3）必要不充分条件，即pq且qp；

（4）既不充分又不必要条件，即pq且qp．

3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义

（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设A,B为两个集合，集合AB是指

xAxB。这就是说，“xA”是“xB”的充分条件，“xB”是“ xA”的必要条件。对于真命题“若p则q”，即pq，若把p看做集合A，把q看做集合B，“pq”相当于“AB”。

（2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关A闭合”为条件A，“灯泡B亮”

为结论B，可用图1、图2来表示A是B的充分条件，A是B的必要条件。

A C B A C B图1 A BA 图2 C B 图3 图4 （3）回答下列问题中的条件与结论之间的关系：

⑴若ab，则acbc；

⑵若x0，则x20；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

三、例题

【例1】

指出下列命题中,p是q的什么条件.(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出一种) (1) p:x-1=0,q:(x-1)(x+2)=0; (2) p:两直线平行,q:内错角相等; (3) p:a>b,q:a2>b2; (4) p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形.

【例2】

(1) 若c∈R,则“c=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点”的什么条件? (2) 对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的什么条件? 【例3】

已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>3},则命题“x∈A”是命题“x∈B”的什么条件? 变式1

已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分条件,则a的取值范围是

.

变式2

已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则a的取值范围是

.

四、

课堂练习

1.在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的

条件.

2.从“⇒”“⇔”中选择适当的符号填空.

(1)a,b都是奇数

a+b是偶数; (2)x2=x+2

|x|=错误！未找到引用源。.

3.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空.

(1)“φ=0”是“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”的

; (2)“2a>2b”是“log2a>log2b”的

; (3)“0

; (4)“x>0”是“x+1≥2”的

. 2五、

课堂小结

1.对充分条件和必要条件概念的理解.

2.对充分条件和必要条件的判断.

课堂练习答案

【例1】

【处理建议】本题是本节课知识的初步应用.由学生根据以前的数学知识,判断p,q之间的推理关系.

【规范板书】

解

(1) 因为x-1=0⇒(x-1)(x+2)=0,但(x-1)(x+2)=0⇏x-1=0,所以p是q的充分不必要条件.

(2) 因为两条直线平行⇔内错角相等,所以p是q的充要条件.

(3) 因为a>b⇏

a2>b2,且a2>b2⇏

a>b,所以p是q的既不充分又不必要条件.

(4) 因为四边形是正方形⇒四边形的四条边相等,但四条边相等的四边形不一定是正方形,所以p是q的必要不充分条件.

【题后反思】本题直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件.如果由原命题直接判断不方便,我们可以换一种方式,根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否命题来进行判断.

【例2】

【处理建议】

(1)可直接由函数图象过原点的等价条件来判断;(2)综合考查了奇函数、偶函数的性质及图象,可通过举反例来说明p⇏q.

【规范板书】

解

(1) 若c=0,则f(x)=ax2+bx(a≠0),当x=0时,y=f(0)=0,因此函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的图象过原点,故充分性成立.

(2) 因为函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点,所以f(0)=0,即c=0,故必要性成立.

综上,“c=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点”的充要条件.

(2) 若y=f(x)是奇函数,则对任意的x∈R,均有f(-x)=-f(x),即|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以y=|f(x)|是偶函数,即y=|f(x)|的图象关于y轴对称,故必要性成立.

若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,则不能得出y=f(x)一定是奇函数.如:y=|cosx|,显然其图象关于y轴对称,但y=cosx是偶函数.故充分性不成立.

综上,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要不充分条件.

【题后反思】

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程,知命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类: ①

充分不必要条件,即p⇒q,而q⇏p; ②

必要不充分条件,即p⇐q,而p⇏q; ③

充要条件,既有p⇒q,又有q⇒p;

④既不充分又不必要条件,既有p⇏q,又有q⇏p.

【例3】

【规范板书】解

充分不必要条件.

变式1

【答案】

(-∞,5]

变式2

【答案】

(-∞,5)

【题后反思】

一个问题总是有正反两个方面,变式考查的是已知命题的充分必要性求原命题中参数的取值范围,提醒学生注意临界值.

课堂练习

1.【答案】充要

2.【答案】(1)⇒

a+b (2)

⇔

3.

【答案】(1)充分不必要条件

(2)必要不充分条件

(3)既不充分又不必要条件

(4)充要条件