3.1.1 变化率问题教案公开课一等奖

一、教学目标：

1.知识与技能：

（1）通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；

（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

（3）会求具体简单函数的平均变化率和某点的瞬时变化率；

2. 过程与方法

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会“逼近”的思想方法； 3. 情态与价值观

经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。体会数学概念形成的“归纳—演绎”的模式。

二、教学重点.难点

重点：导数的概念；

难点：导数的概念；

三、教学过程

新课引入

利用幻灯片展示微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接关系。导数是微积分的核心概念之一。它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。引出学习本章的意义及重要性。

设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为新课程的自然引入提供契机。

四、自主学习

1、曲线上一点处的切线斜率

不妨设P(x1，f(x1))，Q(x0，f(x0))，则割线PQ的斜率为kPQf(x1)f(x0)，

x1x0设x1－x0=△x，则x1 =△x＋x0，∴kPQf(x0x)f(x0)

x当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，kPQf(x0x)f(x0)无限趋近点Q处切线斜率。

x2、曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：

kf(x0x)f(x0)，当△x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的斜率。

x3、瞬时速度与瞬时加速度

(1)平均速度：

物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度

(2) 位移的平均变化率：s(t0t)s(t0)

t(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t=t0时的瞬时速度

求瞬时速度的步骤：

s(t0t)s(t0)无限趋近于一个常数，这个常数称为t1.先求时间改变量t和位置改变量ss(t0t)s(t0)

2.再求平均速度vs

ts无限趋近于常数v为瞬时速度

t3.后求瞬时速度：当t无限趋近于0，4.速度的平均变化率：v(t0t)v(t0)

tv(t0t)v(t0)无限趋近于一个常数，这个常数t5.瞬时加速度：当t无限趋近于0 时，称为t=t0时的瞬时加速度

注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率

典型例题：

2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数. ff26x再求lim6

分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx), 再求xx0x3x23123(x212)limlim3(x1)6解：法一（略）；

法二：y|x1limx1x1x1x1x1

（2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

2y(1x)2(1x)23x

解：xx

y(1x)2(1x)2f(1)limlim(3x)3

x0xx0x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x27x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

根据导数定义，f(2x)f(x0)(2x)27(2x)15(227215)fx3

xxx所以f(2)limflim(x3)3；同理可得:f(6)5

x0xx0在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

五、当堂检测

1．将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x

h2时候，原油温度（单位：c）为f(x)x7x15(0x8)。

（1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

2．已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t+5t （1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度。

（2）求物体在t时刻的瞬时速度。

（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

2

六、课堂小结

1.知识建构

2.能力提高

3.课堂体验

七、课时练与测

八、教学反思