1.2.1 充分条件与必要条件第一课时教学设计

1.2 充分条件和必要条件

（第一课时）

【教学目标】

1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；

2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；

3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．

【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；

【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．

【教学过程】

一、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

3．请判断下列命题的真假： 22 （1）若x>a+b，则x>2ab 。

（2）若ab=0,则a=0。

二、讲授新课

1.推断符号“”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:“pq”; 如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“pq”. 用推断符号“和”写出下列命题：

（1）

x=y x=y；

（2）内错角相等 两直线平行；

（3）整数a能被6整除 a的个位数字为偶数；

（4）ac=bc a=b

2．充分条件与必要条件

一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“pq”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p. 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即qp）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

（1）充分必要条件（充要条件），即

pq且qp；

（2）充分不必要条件，即pq且qp；

（3）必要不充分条件，即pq且qp；

（4）既不充分又不必要条件，即pq且qp．

3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义

（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设A,B为两个集合，集合AB是指

22

xAxB。这就是说，“xA”是“xB”的充分条件，“xB”是“

xA”的必要条件。对于真命题“若p则q”，即pq，若把p看做集合A，把q看做集合B，“pq”相当于“AB”。

（2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关A闭合”为条件A，“灯泡B亮”

为结论B，可用图1、图2来表示A是B的充分条件，A是B的必要条件。

A BA C B

C

A 图2 图1 B

C A B

图3 图4

三、例题

例题1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题p是q的充分条件？

2(1)若x=1,则x-4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；

2(3)若x为无理数，则x为无理数. 例题2.哪些命题中的q就p的必要条件？

⑴若ab，则acbc；

⑵若x0，则x20；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

能力提升

1、用集合的方法来判断下列哪个p是q充分条件，哪个p是q的必要条件? （1）p:菱形 q:正方形

（2）p: x>4 q: x>1 2、设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，

D是B的充分条件，则

(1) D是C的什么条件？

(2) A是B的什么条件？

例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

1.p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

2.p:x ＞

0,y ＞

0,q: xy＞

0；

3.p: a ＞

b ,q: a + c ＞

b + c；

4.p:x ＞

5, ,q: x ＞

10 5.p: a ＞

b ,q: a2

＞

b2

注意：在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若pq ,但q



p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p



q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若p



q，且q



p，则p是q的既不充分也不必要条件．

四、课堂练习

课本P8 练习1、2、3 五、补充练习

1．设集合M={x|0

2．x>2的一个必要而不充分条件是_____________。

3．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，

条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的_____________条件。

4． 的___________条件。

5．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的_______条件，r是t的________条件。

六、课堂小结

1．充分条件的意义；

2．必要条件的意义．

七、课后作业：