1.1.3 四种命题间的相互关系第一课时导学案

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②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；

③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值. 这些命题中，真命题的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3 解析：①错.原因：可能“=”不能取到.②③都正确. 答案：C 4.命题“若m＞0，则关于x的方程x2+x－m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为___________________. 解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断. 答案：2 5.（2005年北京西城区抽样测试题）已知命题p:函数y=loga（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（－1，1）；

命题q:如果函数y=f（x－3）的图象关于原点对称，那么函数y=f（x）的图象关于点（3，0）对称.则

A.“p且q”为真

B.“p或q”为假

C. p真q假

D. p假q真

解析：解决本题的关键是判定p、q的真假.由于p真，q假（可举反例y=x+3），因此正确答案为C. 答案：C ●典例剖析

【例1】

给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有

A.0个

B.2个

C.3个

D.4个

剖析：原命题和逆否命题为真. 答案：B 深化拓展

若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假. 思路：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假. 解：逆命题“若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）有两个不相等的实数根，则ac＜0”是假命题，如当a=1，b=－3，c=2时，方程x2－3x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=2＞0. 否命题“若ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根”是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题. 逆否命题“若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根，则ac≥0”是真命题.因为原命题是真命题，它与原命题等价. 评述：解答命题问题，识别命题的条件p与结论q的构成是关键. 【例2】

指出下列复合命题的形式及其构成. （1）若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；

（2）一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；

（3）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形. 解：（1）是非p形式的复合命题，其中p:若α是一个三角形的最小内角，则α＞60°. 本卷第2页（共7页）

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（2）是p且q形式的复合命题，其中p:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形. （3）是p或q形式的复合命题，其中p:有一个内角为60°的三角形是正三角形，q：有一个内角为60°的三角形是直角三角形. 【例3】

写出命题“当abc=0时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. 剖析：把原命题改造成“若p则q”形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题.在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律. 解：原命题：若abc=0，则a=0或b=0或c=0，是真命题. 逆命题：若a=0或b=0或c=0，则abc=0，是真命题. 否命题：若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0，是真命题. 逆否命题：若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0，是真命题. ●闯关训练

夯实基础

1.如果原命题的结论是“p且q”形式，那么否命题的结论形式为

A.p且q

B.p或q

C.p或q

D.q或p

解析：p且q的否定为p或q. 答案：B 2.下列四个命题中真命题是

①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题

②“面积相等的三角形全等”的否命题

③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根”的逆否命题

④“若A∩B=B，则AB”的逆否命题

A.①②

B.②③

C.①②③

D.③④

解析：写出满足条件的命题再进行判断. 答案：C 3.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空. （1）命题“15能被3和5整除”是___________________形式；

（2）命题“16的平方根是4或－4”是______________形式；

（3）命题“李强是高一学生，也是共青团员”是___________________形式. 答案：（1）p且q

（2）p或q

（3）p且q

4.命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是_______________. 答案：若a≠0且b≠0，则ab≠0 5.在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p“第一次射击击中飞机”，1命题p2“第二次射击击中飞机”，试用p1、p2及联结词“或”“且”“非”表示下列命题：

（1）两次都击中飞机；

（2）两次都没击中飞机；

（3）恰有一次击中飞机；

（4）至少有一次击中飞机. 解：（1）两次都击中飞机是p1且p2；

（2）两次都没击中飞机是p1且p2；

（3）恰有一次击中飞机是p1且p2，或p2且p1；

（4）至少有一次击中飞机是p1或p2. 培养能力

6.（2004年湖北，15）设A、B为两个集合.下列四个命题：

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（或推证）. ●教师下载中心

教学点睛

1.有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”. 2.要明确原命题、否命题、逆命题、逆否命题之间的关系. 拓展题例

【例1】

写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假. （1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数；

（2）若xy=0，则x=0或y=0；

（3）若一个数是质数，则这个数是奇数. 解：（1）命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题. 原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题. （2）命题的否定：xy=0则x≠0且y≠0，为假命题. 原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题. （3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题. 原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题. 【例2】

有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条. A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，

B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，

C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”. 如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？

解：若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意. 若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内. 同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意. 综上，苹果在B盒内.

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