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二次函数综合题

一般分为这几类题目：

1.二次函数与实际问题

2.二次函数与相似三角形

3.二次函数与图形变换

4.二次函数有关的面积问题

5.二次函数与圆

如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB的长分别是1和3，将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置．

(1)求过C、B、A三点的二次函数的解析式；

(2)若(1)中抛物线的顶点是M，判定△MDC的形状，并说明理由．

1.

如图，抛物线y=-x2+2nx+n2-9(n为常数)经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限．

(1)确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；

(2)在四边形OABC内有一矩形MNPQ，点M，N分别在OA，BC上，A点坐标为(2，8)B点坐标为(4，8)，点Q，P在x轴上．当MN为多少时，矩形MNPQ的面积最大，最大面积是多少？

2.

2. 抛物线P：y=ax2+b (a＜0、b＞0)与x轴相交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴交于点C．将抛物线P关于x轴作轴对称变换，再将变换后的抛物线向右平移m个单位(m＞0)，得到新抛物线P1，其顶点为D，与x轴相交于E、F两点(F在E左侧)，与y轴相交于点G．

(1)当a=-1，b=2，①抛物线P1过原点时，直接写出抛物线P1解析式；②点D在抛物线P上时，直接写出抛物线P1的解析式；

(2)如图2，当抛物线P1过点B时，若四边形ADEC为矩形时，请求出a和b应满足的关系式；

(3)当a=-1，b=2时，若△OFG和△OGE相似，求m的值．

3.

3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=3，AD=，高DE=2，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点A与坐标原点重合，CB的延长线与y轴交于点F，且F(0，-6)．

(1)求点D的坐标；

(2)求经过点B、D、F的抛物线的解析式；

(3)判断平行四边形ABCD的对角线交点G是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．

4.

4. 已知函数y1=x，y2=x2+．

(Ⅰ)当自变量x=1时，分别计算函数y1、y2的值；

(Ⅱ)说明：对于自变量x的同一个值，均有y1≤y2成立；

(Ⅲ)是否存在二次函数y3=ax2+bx+c同时满足下列两个条件：

①当x=-1时，函数值y1≤y3≤y2；

②对于任意的实数x的同一个值，都有y1≤y3≤y2，

若存在，求出满足条件的函数y3的解析式；若不存在，请说明理由．

5.

5.一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2，0)，B(m+2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．

(1)若m为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点；

(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

6.

6. 如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y=a(x-m)+n的顶点在线段AB上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为()

2

A.-3 B.1 C.5 

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-x+c(a≠0)经过A，B，C三点．

(1)求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；

(2)在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

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8. 如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为(2，2)，∠BCO=60°，OH⊥BC于点H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设

点P运动的时间为t秒．

(1)求OH的长；

(2)若△OPQ的面积为S(平方单位)．求S与t之间的函数关系式．并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少；

(3)设PQ与OB交于点M．

①当△OPM为等腰三角形时，求(2)中S的值． ②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论．

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9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的长OA=

，宽OC=1，其中点A、C分别在x、y轴上，将△AOC沿AC翻折得△APC．

(1)填空：A点坐标为_____，P点坐标为_____；

(2)若P，A两点在抛物线y=-

x2+bx+c上，试说明点C在此抛物线上；

(3)设E(0，n)是y轴上的动点，过点E的直线y=

x+n与第(2)小题中所得的抛物线交于点M、N．

①当n＜1，EM和EN的大小如何？为什么？

②当n为何值时，△MCN是以MN为斜边的直角三角形？

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10. (2006•河北)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t(秒)．

(1)设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；

(2)t为何值时，四边形PQBA是梯形；

(3)是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4)；若不存在，请简要说明理由．

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