小结教案教学设计

学习目标

1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系. 2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法. 3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假. 4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.

命题真假的判断是高考命题的重要内容之一，是高考的热点题型．这类题一般涉及一般命题真假的判断、含有逻辑联词的命题真假的判断、含有量词的命题真假的判断、命题的四种形式的真假的判断等．并且这些内容一般不会单独命题，往往与其他相关的数学知识结合起来进行考查，且主要以选择题、填空题的形式进行考查．

[典例1]

(1)已知命题p：函数f(x)＝2sin2x＋ππ的图象关于x＝对称，命题q：函63第

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数f(x)＝2sin2x＋ππ向右平移个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假63命题的是(

)

(2)下列命题中是假命题的是(

) πA．∀x∈0，，x>sin x

2B．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 C．∀x∈R，3x>0 D．∃x0∈R，lg x0＝0 2ππ解析：(1)∵f＝2sin ＝3≠2，

36∴f(x)的图象不关于x＝π对称．故p为假命题．

6ππ∵平移后所得函数为y＝2sin2x－＋

63＝2sin 2x，易知此函数为奇函数，

∴函数图象关于原点对称，∴q为真命题．

∴()∧()为假命题．

π(2)根据三角函数的定义和三角函数线，可以证明：当x∈0，时，x>sin x．故选项2xx＋∈[－2，2]，因此不可能存在x0∈R，A为真命题；对x∈R，sin x＋cos x＝2sin4使sin x0＋cos x0＝2，故选项B为假命题；因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对∀x∈R，3x>0，故选项C为真命题；当x0＝1时，

lg x0＝lg 1＝0，故选项D为真命题．

答案：(1)D

(2)B [对点训练] 1．给出以下命题，其中为真命题的是________．

①函数y＝ax(a>0，a≠1)与函数y＝logaax(a>0，a≠1)的定义域相同；

π②若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝；

2③函数y＝(x－1)2与y＝2x－1在区间[0，＋∞)上都是增函数；

④若不等式|x－4|0. 解析：因为y＝logaax＝x，其定义域为R，与y＝ax的定义域相同，所以①为真命题；若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则应有φ＝ππ＋kπ(k∈Z)，不一定总有φ＝，22故②为假命题；函数y＝(x－1)2在区间[0，＋∞)上不是增函数，所以③为假命题；因为|x第

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－4|的最小值等于0，所以当a≤0时，不等式|x－4|0，故④为真命题．

答案：①④

1.充分条件、必要条件的判断问题，在高考试题中几乎是每年都考，也是近几年高考的一个热点题型，一般以选择题、填空题的形式进行考查，并且与其他数学知识的考查融合在一起．因此必须准确地理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，并能判断所给条件是结论的何种条件，还要能够利用充要条件解决问题，例如寻求某个结论的充要条件、求参数的取值范围等．

2．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

(1)充分不必要条件，即p⇒q，而qp. (2)必要不充分条件，即pq，而q⇒p. (3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p. (4)既不充分也不必要条件，既有pq，又有qp. 3．充分条件与必要条件的判断

(1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的) (2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．

[典例2]

(1)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(2)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”是“A⊆B”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(3)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是(

) 1A．0

B．0

31C．0≤a≤1

D．a<0或a>

3解析：(1)由正弦定理，知a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔sin A⇒”即“若⇒第

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≤

sin B．故选A.

(2)A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，所以A⊆B⇔a>4，而a>5⇒a>4，且a>4a>5，所以“a>5”是“A⊆B”的充分不必要条件．

(3)要使不等式x2－2ax＋a>0的解集为R，应有Δ＝(－2a)2－4a<0，即4a2－4a<0，所以00的解集为R”的充要条件，因此一个必要不充分条件是0≤a≤1. 答案：(1)A

(2)A

(3)C [对点训练] 2．设a∈R，则“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

当a＝1时，f(x)＝1是偶函数；但当f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数时，有a2－1＝0，故a＝±1.因此“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的充分不必要条件．

3．给定两个命题p，q，若是q的必要不充分条件，则p是綈q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

因为是是q的必要不充分条件，所以是p的必要不充分条件，即p的充分不必要条件．

4．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是

(

) 1A．x＝－

B．x＝－1 2C．x＝5

D．x＝0 解析：选D

由a⊥b知a·b＝0，即2(x－1)＋2＝0，所以x＝0；而当x＝0时，a＝(－1，2), b＝(2，1)，必有a⊥b.所以a⊥b的充要条件是x＝0.

1.设命题p为真，对应的参数取值范围的集合为A，则命题p为假的集合为∁RA. 设命题q为真，对应的参数取值范围的集合为B，则命题q为假的集合为∁RB. 2．已知命题中含有逻辑联结词时，应结合真值表，由复合命题的真假性推出其中的命题p，q的真假，再建立参数应满足的不等式(组)求得取值范围．

3．由全称命题或特称命题的真假求参数范围时，要对问题进行转化，借助恒成立问题、存在性问题的求解策略进行求解．

[典例3]

若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围第

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是(

) A．a≤－3或a>2

B．a≥2 C．a>－2

D．－2

由题意，得ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，

即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，

a＋2>0，所以

16－4（a＋2）（a－1）≤0，a>－2，即2解得a≥2.

a＋a－6≥0，[典例4]

已知a>0，a≠1，设命题p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．

解：对于命题p：

当

0

当a>1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增．

∴若p为真命题，则01.

对于命题q：若函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，

则Δ＝(2a－3)2－4>0，

15即4a2－12a＋5>0，解得a<或a>.

22∵a>0，

15∴若q为真命题，则0.

2215若q为假命题，则≤a<1或1

22∵p∨q为真，p∧q为假，

∴p与q一真一假．

0

≤a<1或1

2a>1，若p假q真，则15

0，225解得a>.

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15，1∪，＋∞. 综上所述，实数a的取值范围是22[对点训练] 5．设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．

解：若p为真命题，则－2－a<11.

若q为真命题，则－2－a<22.

依题意，得p假q真，或p真q假，

a>1，0

a>20

6．已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．

解：在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1，1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，

2f（－1）≤0，4＋2（p－2）－2p－p＋1≤0，即

2f（1）≤0，4－2（p－2）－2p－p＋1≤0，p≥1或p≤－2，3即∴p≥或p≤－3.

23p≥2或p≤－3.3－3，. 故p的取值范围是21第

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