1.4.3 含有一个量词的命题的否定板书设计

1.4.3含有一个量词的命题的否定（第2课时）

教

材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-1

授课教师: 四川省峨眉第二中学校 王智莉

一、教学目标

1．通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

2．通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

3.使学生体会从具体到一般的认识过程，培养学生抽象、概括的能力．

二、教学重难点

教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对一个量词的命题进行否定．

教学难点: 正确地对含有一个量词的命题进行否定．

三、教学方法：启发式、问答式

四、教学用具：多媒体

五、教学过程：

[知识链接] 你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？

(1)所有矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)∀x∈R，x－2x＋1≥0.

答：(1)存在一个矩形不是平行四边形；

(2)存在一个素数不是奇数；

(3)∃x0∈R，x0－2x0＋1<0. [预习导引] 1．全称命题的否定：

全称命题p：∀x∈M，p(x)， 它的否定p：∃x0∈M，p(x0)．

2．特称命题的否定：

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)， 它的否定p：∀x∈M，p(x)．

3．全称命题的否定是特称命题． 特称命题的否定是全称命题．

要点一

全称命题的否定

例1 写出下列命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

22

(2)数列{1，2，3，4，5}中的每一项都是偶数；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0. 解

(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形的对边不都平行．

(2)是全称命题，其否定：数列{1，2，3，4，5}中至少有一项不是偶数．

(3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 规律方法

全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．

跟踪演练1 写出下列全称命题的否定：

(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；

(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(3)p：对任意x∈Z，x的个位数字不等于3. 解

(1)

p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．

(2)

p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

(3)

p：∃x0∈Z，x0的个位数字等于3. 要点二

特称命题的否定

例2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假．

(1)p：∃x>1，使x－2x－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形．

解

(1)

p：∀x>1，x－2x－3≠0.(假)．

(2)

p：所有的素数都不是奇数．(假)．

(3)

p：所有平行四边形都是矩形．(假)．

规律方法

特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)成立⇒p：∀x∈M，p(x)成立．

跟踪演练2 写出下列特称命题的否定：

(1)p：∃x0∈R，x0＋2x0＋2≤0；

(2)p：有的三角形是等边三角形；

(3)p：有一个素数含三个正因数．

解

(1)

p：∀x∈R，x＋2x＋2>0. (2)

p：所有的三角形都不是等边三角形．

222222

(3)

p：每一个素数都不含三个正因数．

要点三

特称命题、全称命题的综合应用

例3 已知函数f(x)＝4x－2(p－2)x－2p－p＋1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．

解

22

在区间[－1，1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1，1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，

f（－1）≤0，4＋2（p－2）－2p－p＋1≤0，

即

2f（1）≤0，4－2（p－2）－2p－p＋1≤0，21p≥1或p≤－，23即∴p≥或p≤－3. 23p≥2或p≤－3.3故p的取值范围是(－3，)．

2规律方法

通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．

跟踪演练3 若∀x∈R，f(x)＝(a－1)是单调减函数，则a的取值范围是________．

答案

(－2，－1)∪(1，2) a－1>02解析

依题意有：0

a－1<122xa<－1或a>1⇔－2

1．命题p：“存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根”，则“p”形式的命题是(

) A．存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0无实根

B．不存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0无实根

C．对任意的实数m，方程x＋mx＋1＝0无实根

D．至多有一个实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实根

22222

答案

C 解析

命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即p：对任意的实数m，方程x＋mx＋1＝0无实根．

2．对下列命题的否定说法错误的是(

) A．p：能被2整除的数是偶数；p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B．p：有些矩形是正方形；p：所有的矩形都不是正方形

C．p：有的三角形为正三角形；p：所有的三角形不都是正三角形

D．p：∃n∈N，2≤100；p：∀n∈N，2>100. 答案

C 解析

“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．

3．下列命题中的假命题是(

) A．∀x∈R，2x－1nn2>0 B．∀x∈N，(x－1)>0 *2C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2 答案

B 解析

A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．

4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为_______________________ _________________________________________________．

答案

有的向量与零向量不共线

解析

命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．

课堂小结：

对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：

(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．

(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．

(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．

(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．

布置作业：

1．命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a、b是常数．

(1)写出命题p的否定；

(2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？

2．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1，2]，使不等式x＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求实数a的取值范围．

2（思考）3．已知命题p：∀x∈R，4－2xx＋1＋m＝0，若p是假命题，求实数m的范围．

六、教学反思

1、虽然《普通高中数学课程标准（实验）》中提出用数学和生活中的丰富实例，但在具体的教学过程中，尽量不要选用生活中的例子，因为许多生活例子的讨论超出教科书的范围，如“所有的学生考得很好”“有一个学生的年龄很大”等。

2、在探究的过程中，应注意引导学生用简洁、自然地语言表述含有一个量词的命题的否定，避免对逻辑联结词“非”的含义和用法的机械记忆，降低探究的难度。