复习参考题优秀完整教案

选修2-1第1章复习参考题教学设计

内容解析

“常用逻辑用语”这一章的内容，是解决许多数学问题的逻辑基础，具有较强的抽象性，教材上的复习参考题并不难，但是，对应的习题和考试题目却有一定的难度和深度，如常见的含有一个或两个量词的不等式问题，或函数问题. 本次课研究含有两个量词的综合问题(简称任意存在混搭问题)。这部分内容,现行高中数学教材上没有安排教学，但它是高考和平时考试中的常见题型，如2015年高考全国卷、2010年高考山东卷等都有考查。问题具有较强的抽象性，对逻辑思维能力和转化化归能力的要求都较高，如何帮助学生理解突破值得探讨。

学情分析

学生刚刚系统学习了“常用逻辑用语”，知道含有一个量词的不等问题，通常转化为最值问题求解，这些都是本次课学习的基础. 接着研究任意存在混搭问题，接近学生思维实际，符合思维的最近发展区理论。

目标解读

知识与技能目标：学会任意存在混搭问题的等价转化方法，归纳问题的等价结论，并能应用其解决简单的相关问题。

过程与方法目标：通过将二元综合问题，等价转化为一元问题，再转化为熟悉的最值问题，提高学生的构造转化能力；通过变式探究得到一类问题的结论，培养一般性归纳的能力；通过方法和结论的应用，培养解决问题的能力。综合培养数学抽象素养和逻辑推理素养。

情感态度价值观目标：通过问题的转化探讨，培养学生学习数学的自信心和克难奋进的精神. 教学方法

启研法.

教学重点

搭桥法与等价转化.

过程展示

一、复习旧知，导入新课

1

含有单个任意或存在的不等式背景的命题，如何转化求解？

向最值（假设最值存在）问题转化，主要有如下四类：

1xA,MfxMfxmax

2xB,MfxMfxmin1xA,MgxMgxmin

2xB,MgxMgxmax如果问题中含有两个量词，怎么处理呢？导入新课. 2

任意存在混搭问题

具有如下两个特点:（1）同时含有两个量词(包括三类：两个全称量词“任意”，或两个存在量词“存在”，或一个任意与一个存在)；（2）涉及两个函数,两个函数之间是不等式或等式关系（含有一个参数，但不含其它变元）. 【设计意图】“任意存在混搭问题”，毕竟是教材上没有命名和研究的一类问题，为了提高本次课研究的针对性，特作此界定与说明.

二 任意存在混搭问题的探究

类型1

二元混搭不等问题

例1

已知函数f(x)=-x+2,x∈0,1；g(x)=3x-a,x∈0,1．∀x1∈0,1,

∃x2∈0,1，使得f(x1)

（x2)”的转化为一元不等式问题.

分析

设法将“f(x1)g探究

在f(x1)

x10,1,fx1Mfx1maxM

x10,1,x20,1x20,1,Mgx2Mgx2maxfx1Mgx2所以，原问题等价于fx1maxgx2max. 解

∵f（x）单调递减，∴x0,1时，f(x)max=f(0)=2. ∵g（x）单调递增，∴x0,1时，g(x)max=g(1)=3-a．

∵原问题等价于f(x)max

2<3-a, 解得a<1. 归纳结论

∀x1A，∃x2B，f(x1)

用橡皮擦或笔帽等代替“桥”M，先覆盖f(x1)g(x2)的左边，得到Mg(x2)，结合x2对应“任意”，得Mg(x2)min；接着，将M移到右边，盖住g(x2)min，得到f(x1)M，结合x1对应“任意”，得到f(x1)maxM，移开M，即得到等价结论f(x1)maxgx2min.

学生自主探究, 后师生共研.

提示：f(x1)g(x2)f(x1)g(x2)，或

f(x1)g(x2)，即可如上转化. 【设计意图】借助问题变式，探究同类问题.变式1,2的解法，是例题中介绍的搭桥法的简化操作，即借助橡皮擦或笔帽等代替“桥”M，这更加形象直观，方便操作.

类型2

二元混搭相等问题

例2 已知函数f(x)=x-4,x0,1；g(x)=x2-3a2x-2a,x0,1

（a≥1）．∀x10,1,∃x20,1，使得f(x1)=gx2成立，求a的取值范围．

分析1：相等变不等，转化为最值问题

f(x1)=gx2f(x1)gx2f(x1)Mgx2f(x1)maxgx2max

f(x1)gx2f(x1)Tgx21f(x1)mingx2min【设计意图】化生疏为熟悉，是解决新问题的优先思考方向。

说明：相等与不等的转化，人教A版教材必修①集合部分有所提及，对学生而言，未必生疏。

分析2：将f(x),g(x)的最值，标在同一条数轴上，你能看出：f(x)的值域与g(x)的值域的关系吗？或者,类比”孙悟空飞不出如来的手掌”进行转化。

【设计意图】启迪学生，沿着已有的发现往下走，数形结合，也能等到相同的结论，培养学生的求异思维和发散思维。

解法1

搭桥转化为最值问题

可得f（x）的值域是[－4,－3]，g（x）的值域是 [ 1－2a－3a，－2a ] ．原问题等价于

2-3-2af(x1)maxgx2max

2．

-41-2a-2af(x)gx2min1min因为a≥1，故a的取值范围是1≤a≤3．

2解法2 等价转化为值域关系

原问题等价于f（x）的值域包含于g（x）的值域，结合解法1，则有[－4,－3][ 12a－2a－3，－2a ]，故1-2a-2a2-4-2a-33，解得a的范围是1≤a≤．

2变式1

仅将例2中的∀x10,1,改为∃x10,1,其余不变,则有:已知函数．∃x10,1,∃f(x)=x-4,x0,1；g(x)=x2-3a2x-2a,x0,1（a≥1）x20,1，使得f(x1)=gx2成立，求a的取值范围．

启发得到如下结论:∃x1A,∃x2B，使得f(x1)=gx2,等价于f(x1)的值域与f(x2)的值域的交集非空. 变式2 如果两个量词都是任意,则问题等价于什么? 启发得到如下结论:∀x1A,∀x2B，使得f(x1)=gx2,等价于f(x1)的值域

与f(x2)的值域相等. 【设计意图】:类比思考,延伸探究.

三、小结归纳

1

等价转化：（1）

方向；

（2）

搭桥法

2

研究成果归纳

二元混搭不等问题的常见结论

二元混搭相等问题的常见结论

1x1A,x2B,fx1=gx2fx1maxgx2maxAB

fx1mingx2min2x1A,x2B,fx1=gx2AB3x1A,x2B,fx1=gx2AIB

四、牛刀小试

1. 已知函数f(x)=x-2x+3,x0,3；g(x)=lgxa,x1,10．

请根据下列条件，分别求实数a的取值范围. 21

x10,3,

x21,10,fx1gx2；2

x10,3,x21,10,fx1gx2;

3

x10,3,

x21,10,fx1gx2.思考：做完1题后，你还可以获得哪些结论呢？

x1,x1πx122.已知函数f(x),函数g(x)asinxa1(a0).若存在61x1,0x11226x1,x20,1,使得f(x1)g(x2)成立,则实数a的取值范围是______ . 3. 已知函数f(x)x1,g(x)x22bx4.若对任意x1(0,2)，存在4xx21,2，使f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围.[

【设计意图】学以致用，巩固提高.

教学反思

任意存在混搭问题是教和学的难点，教材上没有安排具体的讲解，实际教学中，大多是在学完导数之后，进行专题教学。笔者的处理通常是分两次进行，一次是在这个时候，一次是导数之后。本次课，选取学生熟悉的、简单的函数进行研究，特别是通过探索发现简化的搭桥法，引入桥梁M，将抽象的思维，转化成程序化的、具体的操作，学生普遍反映：操作简单直观，易学好用。

通过探索学***部分学生都能掌握这种方法，既提高了学生对混搭问题等价结论获得的理解，还较好地突破了部分学生对这类问题“知其然不知其所以然”的困惑。

转化化归的思想方法贯穿中学数学的始终，这是我们思考问题、解决问题的基本思想方法，本次课使学生又一次感知了等价转化化归思想方法的强大魅力。

问题的研究与解决，方法的发现与获得，成果的提升与归纳，既培养了学生的转化意识，提高了化归能力，增强了思维的深刻性。也向学生展示了学法探索，探索示范，示范变式，变式归纳，归纳反思，反思应用的系列过程，提高了学生学习数学的自信心。