3.1.2 导数的概念第二课时 公开课

《导数的概念》说课稿

石家庄市四十一中 张立永

本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．

一、教学内容分析

1．导数的地位、作用

导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 2．本课内容剖析

教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．

基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．

进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．

二、教学目标

知识与技能：通过对平均速度与瞬时速度的对比分析，体会用平均变化率无限接近瞬时变化率的极限思想.建立导数的本质就是瞬时变化率的概念.体会导数是用来描述变化快慢程度的量的作用. 过程与方法：从学生熟悉和感兴趣的实例设置问题入手，启发他们通过思考找到解决问题的办法，并设计方案进行实施，从而得出结论.引导他们体会研究问题从特殊到一般的思路. 情感、态度与价值观：问题来源于现实生活，又服务于现实生活。体会知识产生和发展的必要性.培养勤学好问的科学探索精神. 三、教学重点

体会无限逼近的思想，体会用运动的观点解决数学问题的思考方式，使学生知道瞬时变化率就是导数，体会导数概念的内涵. 教学难点

使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念

四、教法学法

本课以问题为切入点，以解决问题形成概念为主线展开，以“启发式教学”为教法，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。主要采用

1

以下四环节模式展开：

创设情境提出问题→解决问题形成概念→辨析应用深化概念→反思小结升华概念. 五、教学过程设计

环节

教师活动

学生活动

创设情境

设计意图：

以刘翔冲刺的撞线速度引出问题: 瞬时速度.比教材中跳水的瞬时速度吸引力更大，能够引发学生的兴趣和热情.体会数学源于实际，又服务于实际.

合作探究

设计意图: 由110米栏中体会瞬时速度的近似值为基础，过渡到对有函数解析式的运动模型的瞬时速度的研究，故后采用课本跳水的例子（不采用跳水视频而采用跳水优美图片，目的防止分散学生注意力），小组合作讨论计算方案，并结合多媒体细化计算结果，观察数据，找到规律，形成通过函数关系式计算瞬时速度的思路. 在此过程中，淡化了t从两边趋近的探究而改为教师直接给出学生理

播放刘翔110米夺金视频，计算平均速度，以平均速度只能粗略描述运动为由，引出研究瞬时速度的必要性。提供几组数值，初步体会平均速度与瞬时速度的关系.

从数据中根据问题的需要选用一些数据计算瞬时速度的近似值，既复习上节，又初步体会接近瞬时速度的t的选取原则. 设置第一问“求t分别取0.1，0.01，

讨论问题，初步设想；以平均速度为切0.001时，在2,2t上平均速度的入点，计算t=2s附值”目的是引导学生探索瞬时速度的近的平均速度，并体正确思路，为解决第二问即求t=2s时会t的取法.观察数的瞬时速度打下基础。组织学生讨论，据，得到瞬时速度.阐述想法.引导学生从“平均速度”出用解析式验证数据，发，寻求想法.大家讨论后确定想法：同时学会瞬时速度观察t=2s附近的平均速度，使t越小的求法. 越好，找到平均速度无限接近的那个

常数，即瞬时速度,并用解析式确认.

确认的同时便形成了用解析式求瞬时

速度的思路.用计算t=1时刻的瞬时速

度顺势巩固了瞬时速度的求法.并引入极限符号，得到任意时刻的瞬时速度的表达方法即limt0ht0tht0. t

2

解，是为了重点突出，集中注意力突破难点。

建立概念

设计意图：

通过前面研究的位移与时间的函数关系，再加入一个学生能理解的速度与时间的函数关系，抽象出一般函数平均变化率的极限是瞬时变化率，即导数，并理解导数的作用是刻画变化的快慢程度。

教师活动

ht0tht0表示位移在t0时刻limtt0的瞬时变化率，能够描述位移变化的快慢程度.若有速度与函数的关系式v(tt)v(t0)V(t)则lim0表示什么意t0t义？速度在t0的瞬时变化率，能够描述速度变化的快慢程度.那么对于一个一般的函数yf(x)而言，limf(x0x)f(x0)表示什么意x学生活动

在老师的问题下思考，建立瞬时变化率的概念，并推广的一般函数，抽象出导数的定义.并通过老师的举例深化对导数的理解. x0义？函数值在x0处的瞬时变化率，能够描述函数值变化的快慢程度.我们就把这个瞬时变化率叫做yf(x)在并通过举现实生活中xx0处的导数。的例子，比如在化学反应中我们要研究物质的瞬时分解率，即物质的剩余量相对于时间的导数，因为它的大小会影响反应的效果和产物。在物理学中，电量的瞬时变化率，即电量相对于时间的导数就是电流强度，加深对对导数概念的理解，同时阐明导数的重要作用：凡是有关瞬时变化率的问题都是与导数相关的问题.

3

辨析应用

设计意图：

由于在前面求瞬时速度的过程中已经体会和形成了用解析式求极限的思路和方法，故在此改动了例题的使用方法，着重让学生在现实意义中理解导数的含义。加入例2的目的是让学生从实际中在回到数学中，用简单的常函数和一次函数巩固对导数的认识，并引发对二次函数的某点处的导数的思考，为下一节做个铺垫. 反思评价

设计意图：

让学生通过总结，进一步体会导数的意义及极限的思想，训练学生的概括能力．

例1

将原油精炼为汽油，柴油，塑胶

等各种不同产品，需要对原有进行冷

却和加热.如果在第xh时，原油的温度例1是解决实际问题，深化导数概念，（单位：0C）为明确导数实质.；例2是回到数学中来，回yf(x)x27x15(0x8).我已归导数是用来研究函数的本质目的，体算得f(2)3,f(6)5，请你说明会对函数的影响和他们表示的实际意义. 作用. 在第2h附近，原油温度大约以30C/h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以50C/h的速率上升. 例2

求下列函数在x=2处的导数

（1）.f(x)5

（2）.f(x)3x1

思考：f(x)x2

利用程序框图形式对本节课内容进行总结和升华. 当t无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于瞬时速度，而通过对数值的观察分析，得到平均速度无限趋近于一个常数，那么这个常数就是瞬时速度.它是个与t无关的量，即只要t的变化趋势是趋向于0的，无论它取何值，平均速度无限趋近的数就是确定的。我们把它记作t0时平均速度的极限。当我们把函数关系一般化，就得到了平均变化率和瞬时变化率的关系与平均速度和瞬时速度的关系一样，瞬时变化率是平均变化率的极限，而瞬时变化率就是导数.从数学思想上，从平均速度到瞬时速度，以及从平均变化率到瞬时变化率用到了无限逼近的极限思想；而从平均速度到平均变化率，从瞬时速度到瞬时变化率用到了从特殊到一般的思想.

回顾思考本节课所学内容，可以彼此之间交流自己的小结，最后由老师总结升华.

4

t0

平均速度

瞬时速度

特 无限逼近思想 特

殊 殊

到 到

一 一

般 般

x0

平均变化率

瞬时变化率

无限逼近思想

导数

5