1.1.2 充分条件和必要条件特级教师教学实录

丹阳市珥陵中学高二数学组

2010/12/23 §1.1.2

充分条件和必要条件（1）

教学目标：

1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；

2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法；

3．培养学生的辩证思维能力．

教学重点：充分条件、必要条件、充要条件的意义及判定方法．

教学难点：必要条件概念的理解

教学过程：

一、问题情境

1．情境：命题的四种形式以及相互关系.

2．问题：如果命题“若p则q”是真命题，那么p与q之间有什么关系? 二、学生活动

1．分别判断下列命题的真假：

（1）若x＝y，则x2＝y2

（2）若x2＝y2，则x＝y 2．上述命题中，条件和结论之间有什么关系？

三、建构数学

1．结合问题，引入符号“pq”和“pq”。

2．引入充分条件、必要条件和充要条件的有关概念

3．解释“充分”、“必要”的含义，并举例说明。

“充分”即“足够”，“必要”的意思是“必不可少”。例如：对于“x>0”和“x2>0”

由于“若x>0，则x2>0”是一个真命题，就称“x>0”是“x2>0”的充分条件，意思是有“x>0”这个条件，就足以得到“x2>0”这个结论；同时称“x2>0”是“x>0”的必要条件，意思是要得到“x>0”这个结论，必须要有“x2>0”这个条件。

另一方面，没有“x>0”这个条件，也可能有“x2>0”这个结论，如“x<0”,这就说明“x>0”不是“x2>0”的必要条件；有了“x2>0”这个条件，还不能得到“x>0”这个结论，这就说明“x2>0”不是“x>0”的充分条件。

因此，“x>0”是“x2>0”的充分不必要条件，“x2>0”是“x>0”的必要不充分条件。

注意：充分、必要条件是研究两个语句之间的逻辑关系，p是q的什么条件，是通过“若p则q”这种形式的命题的真假来判断

。

4．用符号表示充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、1

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2010/12/23 充要条件、既不充分又不必要条件：

(1)p是q的充分条件：pq

(2)p是q的必要条件：qp. (3) p是q的充分不必要条件：pq，但q p.

(4) p是q的必要不充分条件：p q，但qp. (5) p是q的充要条件：pq，qp.（或pq)

(6) p是q的既不充分又不必要条件：p q，q p.

四．数学运用

1．例题

例1

指出下列命题中，p是q的充分条件还是必要条件：

（1）p：x>1；q：x2>1；

（2）p：四边形的对边相等；q：四边形是矩形；

（3）p：两个三角形相似；

q：两个三角形对应角相等；

（4）p：两条直线垂直；q：两条直线斜率的乘积是-1.

例2 指出下列命题中，p是q的什么条件（回答“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”）

（1）p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0；

（2）p：两条直线平行；q：内错角相等；

（3）p：a>b；q：a2>b2；

（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正方形.

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2010/12/23 2．练习

（1）课本第8页练习题1，2，3 （2）请学生举几个充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的例子

（3）判断下列命题的真假：

①“a+c=b+c”是“a=b”的充分条件；

②“ac=bc ”是“a=b”的必要条件；

③“a=b,c=d”是“a+c=b+d”的既不充分又不必要条件；

④“a+c≠b+c”是“a≠b”的必要条件；

⑤“ac2>bc2”是“a>b”的必要条件；

⑥“ab”是“a=b”必要条件。

五．小结

1．充分条件、必要条件及充要条件的概念；

2．充分条件、必要条件的判断方法：

①认清条件和结论；

②考察

pq 和

qp

的真假。

3．充分条件、必要条件等的符号表示.

六．课外作业

1．教科书第8页习题1.1第3题、第4题。

2．判定下列各题中，p是q的什么条件（充分不必要条件（A）、必要不充分条件（B）、充要条件（C））

（1）p：x23x4；q：x3x4；

(

) （2）p：x-2=0；q：（x-2）（x-3）=0；

(

) （3）p：b24ac0(a0)；q：ax2bxc0(a0)有实数根；

(

)

（4）p：x=1是ax2bxc0(a0)的一个根；q：a+b+c=0.

(

) 3．思考题：

如何用集合的观点来解释：充分条件，必要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件。

3

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2010/12/23 §1.1.2

充分条件和必要条件（2）

【教学目标】

进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念及判断方法

【复习回顾】

一般地，如果pq那么称p是q的

条件，

同时称q是p的

条件；

如果pq，qp，那么称p是q的

条件，简称为p是q的

条件，

用符号表示pq（也称为p与q等价）

用符号表示：

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分又不必要条件

【基础训练】

填表格（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）

p是q的什么条件

p q 数a能被6整除

数a能被3整除

三角形有两个角相等

三角形是正三角形

a>b

a+c>b+c

x>2

x>1

log2Mlog2N

MN

a0

函数f(x)x2ax(xR)为偶函数

【典型例题】

例1 已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么（1）s是q的什么条件？

（2）p是q的什么条件？

例2 （1）“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件，求p的取值范围是

（2）已知P：x2－8x－20≤0，q：|x－1|≤m，若p为q的必要条件，

求m的范围

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2010/12/23 例3 x12；q：x22x1m20(m0)．

3若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

已知 p：21

【巩固练习】

1．在横线上填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要：

（1）“a和b都是偶数”是“ab是偶数”的 条件．

（2）“ab”是“2a2b”的

条件．

（3）“直线l与平面内无数条直线垂直”是“l”的

条件．

（4）“x12成立”是“x(x3)0成立”的 条件

2．

若S是P的充要条件，T是S的充分不必要条件，Q是P的必要不充分条件，则T是Q的什么条件？

3．已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6,则非p是非q的什么条件？

4．已知p：(5x1)2a2(a0)，q：2x23x10，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【回顾小结】

本节课进一步理解充分条件、必要条件与充要条件的意义及判断方法，并进行应用。

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2010/12/23 【课后作业】

1．填空（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件）

(1) “xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的 (2) “a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 (3)“x0”是“x0”的 x＜0},B={x|0＜x＜3},那么“mA”是“mB”的 (4)设集合A={x|x110，则非p是非q的

(5)已知P：｜2x-3｜＞1；q：2x2x62．二次函数yax2bxc当字母a,c 满足满足什么条件时，是函数图象与x轴有交点的充分不必要条件

3．已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：

①r是q的充要条件； ②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④r是s的充分条件而不是必要条件. 则正确命题的序号是 4．

已知关于x的方程 (1a)x2+(a+2)x4=0 aR 求：（1) 方程有两个正根的充要条件；（2) 方程至少有一个正根的充要条件

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