6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质课程导入

《正弦函数、余弦函数的图像》教学设计

银川六中

党莉

2018.12.5

1.4三角函数的图像与性质

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（1）

教学主题

正弦函数、余弦函数图像的作法

课时安排

1课时

设备条件

普通教室采用多媒体、几何画板 ppt教学

教材分析

《正弦函数、余弦函数的图像》是是学生进入高中学习的继指数函数、对数函数、幂函数后的新函数，是在已有的三角函数线的基础知识上来研究正、余弦函数的图像与性质的，它是学习三角函数图像与性质的入门课，是三角函数后续内容的知识基础和方法准备，具有承上启下的作用，因此本节的学习在全章中具有极其重要的地位与作用。

学情分析

在学习本节内容之前，学生已经学习了任意角的三角函数定义，诱导公式，三角函数线等知识，其中三角函数线为作正弦函数图像提供了基础，诱导公式则为作余弦函数图像提供了捷径。但学生还不能将三角函数线正确应用于画正弦函数图像，需要老师指导。

教学目标

1、

通过简谐运动的实验演示，让学生对函数图像有一些直观的感知，进而探索利用单位圆中的三角函数线准确作出ysinx,xR的图象；让生明白数学来源于于生活，又服务于生活的道理。

2、会根据关系cosxsin(x)，作出ycosx,xR的图象；学会利用图像变换作图的方2法；了解函数之间的内在联系。

3、理解并掌握用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，体会“五点法”给我们带来的好处，并利用图象解决一些有关问题；

4、通过本节课的学习让学生学会善于寻找、观察数学知识间的内在联系,通过作正弦函数和余弦函数图象，让学生体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦。

教学重点

正弦、余弦函数的图像。

教学难点

将单位园中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点；正弦函数与余弦函数图像间的关系。

教学方法

以启发、诱导发现作为教学的主线，以交流合作探究作为学生的学习方法. 教学过程：

一、导入：

【情景1】：前面学习了三角函数，它们是以谁为自变量的函数呢？每遇到一个新函数，我们都是从哪个角度开始研究的呢？

设计意图：引出课题。让学生回顾三角函数定义，知道三角函数是以角为自变量的函数，引入弧度制后角和实数一一对应，所以三角函数是以实数为自变量的函数，这样，任- 1 -

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意给定一个实数x，都有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应，由这个对应法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R,并提示学生遇到新函数都是从图像开始，通过作图，观图，来直观研究函数性质的。

师：今天我们学习正弦函数、余弦函数的图像————-板书课题

生：看老师展示的重难点，了解本节学习任务、重点、难点

师：从前面的学习中我们已经看到，三角函数值具有“周而复始”的变化规律，正弦函数、余弦函数的图像是怎样的呢？首先，来看一个“简谐运动”的实验。

【情景2】师展示视频，生观察装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的木板（纸）上的轨迹

设计意图：让学生知道物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”“或余弦曲线”，对正弦函数、余弦函数的图像有个直观的印象。

二、讲解新课： 问题1：怎样画出正弦函的图像呢？据以往作图的经验，你准备用什么方法呢？比如这种方法能否精确的描出点(,sin)呢？（师利用PPT展示问题）

33（学生活动1：同桌讨论用代数描点作图的弊端并陈述自己见解）

设计意图：让学生在试着描点中自己发现代数描点法的弊端：部分函数值只能取近似值，描点会有误差，不能做出精确的图像。

问题2：给定角的大小后，还可以用什么方法表示正弦值大小呢？如何作出一个角的正弦线？

设计意图：这个问题及相关问题的解决是本节课的难点，教师先引导学生回顾正弦线定义。进一步巩固到：三角函数线其实就是函数值，让学生明白可以用正弦线进行描点。紧接着提出：如何描点呢？师引导学生思考并利用PPT展示其中一个点(,sin)的画法，进而类33比这一个点的做法描出剩余的点。又取多少个点较合适呢？首先让学生知道，给自变量取值其实就是给自变量取一些角，只是为了作正弦函数的图象自变量定要用弧度来度量，其次考虑到正弦曲线具有周而复始的变化规律，所以只需先做出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象。最后在[0，2π]取的整数倍且从0角开始较宜，能把具有代表性的取值都包含在内6且正好可以将单位圆12等份，以便教准确的作出图像。

1、作正弦函数y=sinx，x∈R的图象

（1）作函数y=sinx x∈[0，2π]的图象

（学生活动2：学生按照教科书叙述的步骤，描出13个点，作出y=sinx，x∈[0，2π]的图像。请一位学生上台展示并简述作图过程）

设计意图：培养学生的动手操作能力，形成对正弦函数的感知。

利用单位圆中正弦线（几何法）作图步骤：

第一步：作单位圆。在直角坐标系的x轴上取一点O1，以O1为圆心作单位圆。

第二步：等分单位圆。从单位圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份。在单位圆中画出对应于角0,，，,…，2π的正弦线（等价于“列表”

）. 632第三步：找横坐标。把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份. 第四步：平移正弦线（相当于确定纵标）。把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”

）. 第五步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈- 2 -



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[0，2π]的图象．

（师利用PPT或几何画板展示作图）

（2）正弦函数y=sinx，x∈R图像？

设计意图：让生感知终边相同角的同名三角函数值相等，此时师用几何画板展示周而复始的变化规律，使学生进一步从形的角度感知正弦函数函数周而复始的变化规律。把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动（师用几何画板展示图像平移过程），每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.

2、余弦函数y=cosx x∈R的图象

设计意图：可以看出，利用描点法画函数图像比较麻烦，能否找到一种不需要这样描点的画法呢？师引导学生根据诱导公式cosxsin(x)把正弦函数x=sinx x∈R的图象向左23平移或向右平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.（师用几何画板展示这个过程）

22师：正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

y1-6-5-4-3-2-o-1y1-6-5-4-3-2--123456xy=sinxy=cosx23456x

3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

设计意图：正、余弦函数的图像已经有了直观的印象，在进一步的学习中，往往只是要它们的大致图像，也就不用这么细致地、复杂地去画出，只要图像上的五个关键点被勾勒出，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，让学生感知五点法作图的优缺点：优点是方便，缺点是精确度不高，要求熟练掌握．

（学生活动3：观察正弦、余弦函数在[0，2π]内的图像，思考应抓住那些关键点？并展示探究结果）（利用PPT展示）

yy=sinx正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0) (,1) (,0) (23,-1) (2,0) 21o-1y1234余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是

3(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1) 22y=cosx234-14、讲解范例（备）

例1

画出下列函数的简图

（1）y=1+sinx，x∈[0，2π]，

（2）y=- cosx x∈[0，2π]，

设计意图：让学生学会“五点法”作图与图像变换作图（利用PPT展示）

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师生活动：教师分析、展示（1）。作图步骤：列表（五点法）、描点、连线、延拓。学生独立完成（2），并观察所做图像与y=sinx ,y=cosx图像间联系 三、巩固与练习

(备）课本p34 A练习1、2 四、小

结：

本节课我们都学到了些什么知识？你收获了有多少呢？

设计意图：可以让学生来回顾总结，让学生对本节的内容有个更进一步的认识，同时培养学生文字语言表达能力和善于总结的习惯。

学生可从以下方面总结：

1．正弦函数图像的几何画法、图像变换作余弦函数图像和五点法作正弦函数、余弦函数的简图 2．用到了诱导公式，三角函数线的等相关知识，体会到了知识间的内在联系。

五、课后作业：

作业 课本p46 习题A 组

第1题

六、板书设计：

正弦函数、余弦函数的图像

1、正弦、余弦函数的定义

3、例题分析

正弦函数 y=sinx x∈R 余弦函数 y=cosx x∈R 2、五点法作图

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0) (2,1) (,0) (3,-1) (2,0) 23,0) (2,1) 2余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是

(0,1) (

2,0) (,-1) (七、教学评价

由于学生已具备初等函数、三角函数线等知识，为本节课的学习提供了线索；本节课通过一段视频的播放入手形成直观印象；对于一些探索性问题的提出，引起学生的好奇，激发学生求知欲望；用操作性活动、借助电脑多媒体使问题得以解决，使学生有效地对当前所学知识得到了认知，符合学生认知的基本规律。在得到正弦曲线时，借助角周而复始的变化，体会后面性质“周期”，更是由局部到整体，由点到面，符合探究的一般方法。让学生动手利用正弦线作图、探讨余弦曲线形成、合作探究“五点法”作图也能体现以学生为主的教学思路；通过ppt、几何画板的展示，生动形象的显现三角函数线的平移和曲线的形成，使枯燥的知识变得有趣，激发了学生的兴趣；通过本节课的学习，还让学生体会数学中的图形美，渗透由抽象到解题的思想，加深数形结合思想的认识，理解静与动的辩证关系

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