习题2.3优秀课堂实录

§

双曲线

题型一

双曲线的定义及标准方程

命题点1

利用定义求轨迹方程

例1

已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．

y2答案

x－＝1(x≤－1) 82解析

如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件，

得|MC1|－|AC1|＝|MA|，

|MC2|－|BC2|＝|MB|，

因为|MA|＝|MB|，

所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，

即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，

所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，

其中a＝1，c＝3，则b2＝8. y2故点M的轨迹方程为x－＝1(x≤－1)．

82命题点2

利用待定系数法求双曲线方程

例2

根据下列条件，求双曲线的标准方程：

5(1)虚轴长为12，离心率为；

4(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；

(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．

解

(1)设双曲线的标准方程为

x2y2y2x2－＝1或2－2＝1(a>0，b>0)．

a2b2abc5由题意知，2b＝12，e＝＝. a4∴b＝6，c＝10，a＝8. x2y2y2x2∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 64366436(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12. 又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25. y2x2∴双曲线的标准方程为－＝1. 14425(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．

9m－28n＝1，∴解得72m－49n＝1，

1n＝－25.1m＝－，75

y2x2∴双曲线的标准方程为－＝1. 2575命题点3

利用定义解决焦点三角形问题

例3

已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________. 3答案

4解析

∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2| ＝|PF2|＝2a＝22，

∴|PF1|＝2|PF2|＝42，

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2则cos∠F1PF2＝

2|PF1|·|PF2|422＋222－423＝＝. 42×42×22引申探究

1．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？

解

不妨设点P在双曲线的右支上，

则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，

在△F1PF2中，由余弦定理，得

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2cos∠F1PF2＝

2|PF1|·|PF2|

1＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，

21所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝23. 2→→2．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1·PF2＝0”，则△F1PF2的面积是多少？

解

不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，

→→→→由于PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，

所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，

即|PF1|2＋|PF2|2＝16，

所以|PF1|·|PF2|＝4，

1所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2. 2思维升华

(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．

(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方x2y2程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为2－2＝λ(λ≠0)，再由条件求ab出λ的值即可．

x2y2

(1)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A54在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(

) A.37＋4

C.37－25

B.37－4 D.37＋25 x2y2(2)设F1，F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|ab9＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(

) 44A.

39C.

4答案

(1)C

(2)B 解析

(1)由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，

要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，

5B.

3D．3

当A，P，F1三点共线时，取得最小值，

则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝37，

∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝37－25. 故选C. (2)不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，

3b＋2a3b－2a又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝. 223b＋2a3b－2a99b4c又r1·r2＝ab，所以·＝ab，解得＝(负值舍去)，故e＝＝4224a3ab2＋1a452＋1＝，故选B. 33a2＋b2＝a2题型二

双曲线的几何性质

x2x222例4

(1)(2016·浙江)已知椭圆C1：2＋y＝1(m＞1)与双曲线C2：2－y＝1(n＞0)的焦点重合，mne1，e2分别为C1，C2的离心率，则(

) A．m＞n且e1e2＞1

C．m＜n且e1e2＞1

B．m＞n且e1e2＜1 D．m＜n且e1e2＜1 x2y2(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线abC2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．

3答案

(1)A

(2)

2解析

(1)由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，

又∵m＞0，n＞0，故m＞n. m又∵e2e21·2＝2－1n2＋1n2＋1n2＋1n4＋2n2＋11·2＝4＞1，∴e1·e2＞1. 2·2＝22＝1＋4mnn＋2nn＋2nn＋2n2bb(2)由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x. aaby＝ax，b由得x2＝2p ·x，

ax2＝2py，2pb2pb22pb2pb2∴x＝，y＝2，∴Aa，a2. aap0，，

设抛物线C2的焦点为F，则F22pb2p－a22∴kAF＝. 2pba

∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，

2pb2p－a22bb25∴·－＝－1，∴2＝. 2pbaa4a22c2a＋b59设C1的离心率为e，则e＝2＝2＝1＋＝. aa4423∴e＝.

2x2y2思维升华

双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线2－2＝1(a>0，b>0)abb中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2. ax2y2

(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在Eab1上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(

) 33A.2

B.

C.3

D．2 2答案

A sin ∠F1MF2|F1F2||F1F2|解析

离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝|MF2|－|MF1||MF2|－|MF1|sin∠MF1F2－sin∠MF2F1223＝2.故选A. 11－3题型三

直线与双曲线的综合问题

x22例5

(2016·兰州模拟)已知椭圆C1的方程为＋y＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的4左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．

(1)求双曲线C2的方程；

→→(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

x2y2解

(1)设双曲线C2的方程为2－2＝1(a>0，b>0)，

ab则a2＝4－1＝3，c2＝4，

再由a2＋b2＝c2，得b2＝1. x22故C2的方程为－y＝1. 3x22(2)将y＝kx＋2代入－y＝1，

3

得(1－3k2)x2－62kx－9＝0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

1－3k≠0，

Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2>0，1∴k2≠且k2<1.①

3设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

－962k则x1＋x2＝. 2，x1x2＝1－3k1－3k23k2＋7∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(k＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝2. 3k－122

→→又∵OA·OB>2，得x1x2＋y1y2>2，

3k2＋7－3k2＋9∴2>2，即2>0，

3k－13k－11解得

31由①②得

33思维升华

(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．

(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．

x22

若双曲线E：2－y＝1(a>0)的离心率等于2，直线y＝kx－1与双曲线E的右a支交于A，B两点．

(1)求k的取值范围；

→→→(2)若|AB|＝63，点C是双曲线上一点，且OC＝m(OA＋OB)，求k，m的值．

c2a＝2，a＝1，解

(1)由得2

c＝2，22a＝c－1，

故双曲线E的方程为x2－y2＝1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y＝kx－1，由22

x－y＝1，

得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.(*)

∵直线与双曲线右支交于A，B两点，

k>1，故

22Δ＝2k－41－k×－2>0，

k>1，即所以1

2k2(2)由(*)式得x1＋x2＝2，x1x2＝2，

k－1k－1∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2

＝21＋k22－k2＝63，

k2－12

55整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝，

74又1

2∴x1＋x2＝45，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8. →→→设C(x3，y3)，由OC＝m(OA＋OB)，

得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(45m,8m)．

∵点C是双曲线上一点．

1∴80m2－64m2＝1，得m＝±. 4故k＝

12．直线与圆锥曲线的交点

y2典例

已知双曲线x－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点2251，m＝±. 24P是线段AB的中点？

错解展示

现场纠错

解

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，

若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．

设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，

即y＝kx＋1－k. y＝kx＋1－k，由2y2

x－＝1，2得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①

x1＋x2k1－k∴x0＝＝. 22－k2k1－k由题意，得＝1，解得k＝2. 2－k2当k＝2时，方程①可化为2x2－4x＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．

∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．

纠错心得

(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件．

(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.