3.1.3 空间向量的数量积运算第二课时教案

3.1.3空间向量的数量积运算

永登县西铁中学 石明环

教学分析

本节课是人教A版数学2-1中继空间向量的加减、数乘运算之后的又一种运算，也是将向量从平面到空间推广的又一事例，学生在学习的过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算的本质，逐步体会数量积运算在解决垂直、夹角等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础。

教学目标

1.

知识与技能

掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法，掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律。

2.

过程与方法

引导学生注重知识间的联系，不断的将空间向量与平面向量做类比，做到温故而知新，并且经历概念的形成过程，解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用。

3.

情感、态度与价值观

通过本节的探究性学习，让学生初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，培养学生发现，提出，解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。

教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。

教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题，并在此基础上用向量解决立体几何问题。

教学方法：采取启发引导，数形转化，反馈评价方式

教学手段：多媒体辅助教学

教学流程：

应用举例；通过例题和练习，掌握数量积

形成概念，深化概念

：

探究发现

情景导入

归纳小结，设计作业

教学过程: 一、复习引入

1、前面我们通过平面向量的加减、数乘运算类比学习了空间向量的相应运算，平面向量中还学习了一种运算数量积，它可以解决长度、角度、垂直等问题，因此我们有必要学习空间向量的数量积，从而解决空间的长度、角度、垂直等问题。先来回顾平面向量的数量积。

2、复***面向量数量积的定义

问题：平面向量数量积的几何意义？性质？运算律有哪些？

今天我们将在前一节课的基础上，进一步类比学习空间向量的数量积及其运算律并进行一些简单的应用． 二、新课讲授

1.

空间两个非零向量夹角的概念：

已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．

说明：（1）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的。

（2）规定：0＜a，b＞．当＜a、b＞＝0时，a与b同向；当＜a、b＞＝π时，a与b反向；当＜a、b＞＝2时，称a与b垂直，记a⊥b．

思考：＜a、b＞， ＜b、a＞, ＜-a、b＞, ＜-b、a＞,这些夹角有什么关系？

师生活动，共同讨论得出结论：

（3）＜a、b＞=＜b、a＞=—＜-a、b＞=-＜-b、a＞

2.空间向量的数量积：

已知空间两个向量a与b，我们把|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即

a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.

说明：（1）两向量数量积的结果是数量，而不是向量。

（2）零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0。

（3）符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略也不能用“×”代替。

问题：由平面向量数量积的几何意义类比得出空间向量数量积的几何意义？

几何意义：数量积a·b等于|a|与b在a方向上的投影|b|cos＜a、b＞的乘积。

3.空间向量数量积的性质： 根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

（1）a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

cos＜a,b＞＝（2）a⊥ba·b＝0

（3）当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；当a与b反向时，a·b＝－｜ab

aba｜·｜b｜.特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2. 有了这些性质，我们可以用空间向量解决空间直线的垂直、求空间线段的长度以及空间异面直线所成的角。下面类比得出空间向量数量积的运算律

4.空间向量数量积的运算律：

与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

（1）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)；

（2）a·b＝b·a (交换律)；

（3）a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律) 同学们有没有发现，这三个运算律与实数乘法的运算律一样，那么有些同学会问是不是实数乘法的所有运算律对向量都使用呢？

思考：（1）对于非零实数a,b,c,若ab=ac，则b=c；那么对于向量是否由ab=ac能推出b=c？

（2）对于非零实数a,b,k,若ab=k,则akk(b)？

bakk(b).对于向量a,b.若ab=k ba能不能写成a（3）对于非零实数a,b,c,有（ab）c=a(bc),对于向量a,b,c, （ab）c=a(bc)成立吗？

师生共同讨论得出结论：

注意：（1）数量积不满足结合律，即(a·b)c≠a（b·с）。

（2）向量有加、减、乘运算，但不能做除法。

三、典例精析

例1.如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E,F分别为

AB,AD的中点。计算：（1）EFBA （2EFBD

(3)EFDC (4)EFAC

教师分析：要求两向量的数量积，根据定义只需要分别求出它们的模及两向量的

A夹角即可，注意找两向量夹角时起点必须相同。

11解：(1)EFBA|EF||BA|COSEF,BA1COS60

24EFAA11 (2)EFBD|EF||BD|cosEF,BD1cos0 22B

11 （3）EFDC|EF|DC|cosEF,DC1cos120

24C11 4EFACEF(ABBC)EFABEFBC1cos1201cos600

22

F

D例2.如图在空间四边形ABCD中AB2，BC3，BD23, ∠ABD30，CD3，∠ABC60，求AB与CD所成角的余弦值。

教师分析：要求AB与CD所成角的余弦值，转化为求它们对应向量的夹角。

解：CDBDBC

ABCDABBDABBC|AB||BD|cosAB,BD|AB| A31BCcosAB,BC22323322ABCD

1cosAB,CD

2|AB||CD|B

D所以AB与CD所成角的余弦值为1

2C

总结：求两向量的数量积或用向量求两异面直线所成角必须注意这样两点：

（1）当两向量夹角未知的时候，我们找一组基地，将求的向量用其它向量 表示出来。

（2）两异面直线所成角的余弦值是对应两向量所成角的余弦值的绝对值。

四、课堂练习

课本P92第一题

五、归纳总结

通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识？

（1）空间向量数量积的定义、性质、运算律。

（2）用向量的数量积求两向量的数量积及夹角问题。

六、作业设计

课本P97A组第1、4题

七、板书设计

3.1.3空间向量的数量积运算

一、空间向量的夹角 例1的板演 二、空间向量数量积的定义

三、数量积的性质 例2的板演

四、数量积的运算律

八、教学设想

本节的教学内容是空间向量的数量积运算，由于前面已经学***面向量的数量积及空间向量的加减、数乘运算，因此本节课主要采用类比、启发引导的方法归纳出空间向量的数量积、性质、运算。

本节课始终以学生为主体，教师为主导，观察分析，合作交流，类比发现，归纳总结.注重概念形成的过程、求数量积的方法及数量积的应用，突出重点，又很好的突破了难点，例习题的选取有梯度，有广度，注意数形结合等数学思想的渗透，注重学生思维品质的训练，本节课的设计面向全体，因材施教，能够使不同层次的学生在本节课都有所获。