3.1.1 变化率问题教学设计内容推荐

3.1变化率与导数（教学设计）（1）

3．1．1变化率问题

广元实验中学

向敏

教学目标：

知识与技能目标：

了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念。

过程与方法目标：

通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概念的产生奠定基础。

情感、态度与价值观目标：

通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的铁钻研精神。

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一．创设情景、新课引入

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．师生互动、新课讲解

（一）问题提出

问题1 气球膨胀率

将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：

（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？

（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？

（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？

（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？

总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)

如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)3分析: r(V)343r

33V

43V，

4⑴

当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

r(1)r(0)0.62(dm/L)

10⑵

当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

r(2)r(1)0.16(dm/L)

气球的平均膨胀率为21气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? h r(V2)r(V1)

V2V1

o

t 1

问题2

高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：0t0.5和1t2的平均速度v

h(0.5)h(0)4.05(m/s)；

0.50h(2)h(1)8.2(m/s)

在1t2这段时间里，v2165探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49在0t0.5这段时间里，v⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(65)h(0)，

4965)h(0)所以v490(s/m)，

6504965虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，49h(可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

例1（tb11500601）求下列问题的平均变化率

（1）已知函数f(x)=x+1 ，求x取从1到2时的平均变化率；

（2）已知函数f(x)=1，求x取从1到2时的平均变化率；

x1；（3）ln2；（4）sin2-sin1）

2（3）已知函数f(x)=lnx，求x取从1到2时的平均变化率；

（4）已知函数f(x)=sinx，求x取从1到2时的平均变化率。

（解：（1）1；（2）（二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子

f(x2)f(x1)表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

x2x12．若设xx2x1, ff(x2)f(x1)

(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf3．

则平均变化率为

xxx2x1x思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率

直线AB的斜率

ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1y y=f(x) f(x2) △y =f(x2)-f(x1)

f(x1) O △x= x2-x1

x1 x2 x 2

例2：已知函数f(x)=xx的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1x,2y),则2y

．

x解：2y(1x)2(1x)，

y(1x)2(1x)23x

∴xx例3：求yx2在xx0附近的平均变化率。

y(x0x)2x0解：y(x0x)x0，所以

xx22x02x0xx2x02x0x

x

所以yx2在xx0附近的平均变化率为2x0x

222三．课堂小结、巩固反思：

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

四．布置作业

A组：

1、（课本P79习题3.1A组

NO：1）

2、(tb11500701)已知某质点运动规律满足s=t2+3，则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为（A）

（A）6+t

(B)3+t

(C) 9+t

（D）6+t+1

ty为（C）

x3、(tb11500801)在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+x,2+y），则（A）

x+111+2

(B) x--2

(C) x+2

(D)2+x-

xxx4、(tb11500801)在平均变化率的定义中，自变量的增量是（D）

（A）x>0

(B) x<0

(C) x=0

(D) x0 B组：

1、(tb11500702)过曲线f(x)=x3上两点P（1，1），Q（1+x,1+y）作曲线的割线，求当x=0.1时割线的斜率。

（答：3.31）

2、(tb11500803)函数y=3x2-2x-8在x1=3处有增量x=0.5，求f(x)在x1到x1+x上的平均变化率。

（答：17.5）

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