1.2.1 充要条件教学设计第一课时

公开课教案

充要条件

沁水县第二高级中学校 李雁

一、

教学目标

知识与技能：

正确理解充要条件的定义，了解充分而不必要条件，必要而不充分条件，既不充分也不必要条件的定义．

正确判断充要条件，了解充分而不必要条件，必要而不充分条件，既不充分也不必要条件．

通过学习，使学生明白对充分、必要条件的判定应该归结为判断命题的真假．

过程与方法：

在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

情感、态度与价值观: 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

二、

教学重难点

重点：（１）正确区分充要条件．

（２）正确运用“条件”的定义解题．

难点：正确区分充要条件．

三、

教学过程

1.复习引入：

复习充分条件必要条件的定义

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2.学生自主学习：

请同学们认真阅读教材P11，并认真思考以下问题：

1.

充要条件的定义？

2.

判断充要条件的方法？

3.

证明充要条件的方法。

3. 探讨总结：

已知p：整数a是6的倍数；q：整数a是2和3的倍数. 请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：pq，故p是q的充分条件；

又q  p，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件. 问题一：举出原命题和逆命题都是真命题的一些“若p，则q”形式的命题的例子. 设计意图：充要条件的概念与原命题和逆命题都是真命题且具有以上形式的命题是分不开的，充要条件应该结合具体的命题来引入，并加深理解。

3.类比归纳

师生活动：分析命题中p，q之间充分性和必要性的关系，引入充要条件的概念. 一般地,如果既有pq又有qp 就记作p  q. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p

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是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 概括地说,如果p  q,那么p 与 q互为充要条件. 4.例题分析

例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（１） p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（２） p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；

（３） p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；

（４） p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10 （５） p: a ＞ b ,q: a2

＞ b2

分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

解：命题（１）和（３）中，pq ，且qp，即p q，故p 是q的充要条件；

命题（２）中，pq ,但qp，故p不是q的充要条件；

命题（４）中，pq ，但qp，故p不是q的充要条件； 命题（５）中，pq ，且qp，故p不是q的充要条件；

问题二：在“若p，则q”形式的命题中，有的p是q的充分条件，有的是必要条件，有的既是充分条件，又是必要条件，能否对存在的各种情况作分类？对于存在的各种情况能否举例说明？

设计意图：通过以上这些讨论，可以让学生进一步理解充分条件、必要条件，充要条件. 师生活动：讨论数学命题的分类，分析总结可得四种情况.

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5．类比定义

一般地，

若pq ,但qp，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但qp，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若pq ,但qp，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

６．例题分析

例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

问题三：此例要求证明d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件，怎么理解这个要求？

设计意图：在数学学科中，形如“p是q的充要条件”的命题是相当普遍的.要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题，又要证明原命题的逆命题.证明原命题即证明命题条件的充分性，证明原命题的逆命题，即证明命题条件的必要性。关键在于要让学生弄清命题的要求是什么. 分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．

7．当堂训练

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课本第12页练习题，习题1.2第3题。

8．回顾小结

充要条件的判断方法：定义法，等价法，集合法.充要条件的证明，即证明条件的充分性和必要性.

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