3.2.1 几个常用函数的导数课件配套优秀教案设计

第三章3.2.1几个常用函数的导数 唐县第一中学 刘莉

【教学目标】

一、知识与技能：

1．能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题。

2．掌握五个公式，理解公式的证明过程；

二、过程与方法：

1. 通过本节的学习，使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数yc、yx、yx2、y1、yx的导数公式；

x2.掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数．

三、情感态度与价值观：

1.通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识。

2. 注意培养学生归纳类比的能力；

【教学重、难点】能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用。

【教学过程】

【情境一】我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限）

问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限）

问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？

【情境二】1.利用定义求出函数①yc的导数

2.若yc表示速度关于时间的函数，则y0可以如何解释？如何描述物体的运动状态？

问题1：函数值的增量y是什么？（0）

问题2：自变量的增量x是多少（x(xx)x）

问题3：yy?与x的取值有关吗？

=？limx0xx问题4：你得到的函数yc的导数是什么？（yc0）与c的取值有关系吗？

【探究一】在同一平面直角坐标系中画出函数 y=2x,y=3x,y=4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数。

（1）

从图象上看它们的导数分别表示什么？

（2）

这三个函数中哪个增长的最快？哪个增长的最慢？

【探究二】在同一平面直角坐标系中画出函数 y=-2x,y=-3x,y=-4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数。

（1）从图象上看它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中哪个减小的最快？哪个减小的最慢？

（3）函数y=kx(k不为0)增（减）的快慢与什么有关？

【情境三】 学生探究：你能独立完成②yx，③yx2，④y导函数吗？

问题1：函数②的导数是什么？（y1）若是改为ycx呢？

问题2：函数③的导数是什么？（y2x）若改为y2x2呢？

问题3：函数④的导数是什么？（y【情境四】再探究：

1.以上四个函数的导数求解过程中用到的变形方法都是常见的提公因式，通分，合并同类项等初级方法，你能否还用以上方法求出函数⑤y1这几个函数的x11y）若改为呢？

xx2x的导数呢？xxx，再往下如何化简？根据经验我们知道，应该能够把分母上的xx约去才行（因为取极限时x0，分母为0分式无意义）故要进行分子有理化具体过程如下：yx1xxx(xxx)(xxx)=

xxxxx(xxx)1=ylimylimx0xx01xxx2x

2.你能否把本节课所学的五个函数的求导公式通过类比推广统一起来呢？

①c(cx0)0cx01②x(x1)1x11x01③(x2)2x212x12x

1112112111122④()(x)1xx2⑤(x)(x)xx

xx222x推广：（1）若yxn(nQ)，则ynxn1（幂函数）（2）若ycxn(nQ)，则111ycnxn1（类幂函数）

函数

导函数

yc

'2

yxyx

1y

x'yx

yf(x)xn(nQ*)

y'nxn1

11

yy0

y1

y2x

y2

2xx''【习题设计】

例1：求下列函数的导数 1153（6）y（4）yxx（5）yx（2）yxx4x31例2

求函数yf(x)在点（1，1）出的切线方程x及倾斜角。

（）1yx1213（3）y【课堂小结】

11.会求常用函数 的导数. yc,yx,yx2,y,x2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题. 【课后作业】课时检测

【板书设计】

1．函数yf(x)c的导数 3．函数yf(x)x2的导数 5．函数yx的导数

2．函数yf(x)x的导数 4．函数yf(x)

1的导数 6．推广： x