10.1 二元一次方程国家优质课一等奖

课题：5.2.1求解二元一次方程组 课型：新授课 年级：八年级 教学目标：

1.会用代入消元法解二元一次方程组；

2.了解“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想. 教学重点与难点：

重点：用代入消元法解二元一次方程组.

难点：在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.

课前准备：多媒体课件. 教学过程: 一、创设情境，引入新课

上节课“老牛和小马的包裹谁的多”的问题（课件展示）

xy2,x12(y1).①② 处理方式：教师引导----每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？

设计意图：上节课已经列出了二元一次方程组，但没有获得二元一次方程组的解.学生对如何解二元一次方程组产生强烈的求知欲，从而顺利的引出课题.

二、分组讨论，合作探究

（课件展示）

我们怎么获得这个二元一次方程组的解呢? 想想以前学习过的一元一次方程的解法，能不能解决这一问题?

处理方式：这里引导学生从用一元一次方程解决这个问题的过程中受到启发，从而求出二元一次方程组的解.通过学生自己对比、思考、发现，让学生惊喜的发现“温故而知新”，将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取知识的愿望和能力. （课件展示）

用一元一次方程求解 用二元一次方程组求解

解：设老牛驮了x个包裹

， 解：设老牛驮了x个包

裹

,

则小马驮了(x-2)个包裹

，

小马驮了y个包裹，根据

则小马驮了(x-2)个包裹

， 题意，得 根据题意，得 xy2,x+1=2(x-2-1)

x12(y1).①②

处理方式：通过学生对比、思考、发现二元一次方程组可以转换成一元一次方程，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，然后教师利用多媒体展示解题的详细过程，让学生理解及规范解题步骤. （课件展示）

解：设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹，根据题意，得

xy2,x12(y1).①②

由②，得 x2y. ③

将③代入②，得 (2y)12(y1). 解得 y5. 将y=5代入③，得 x7. 所以原方程组的解是x7,y5.

设计意图：放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想.

三、学以致用，巩固新知 3x2y14,例1 解方程组：

xy3.例2 解方程组：

①②①② 2x3y16,x4y13.

处理方式：学生板演例1、例2. 教师展示解题过程，第二题需先进行恒等变形，教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解，在求解过程中学生消元的具体方法可能不同，所以教学中不必强求解答过程的统一，但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算较为简单.让学生在解题中进行思考. （课件展示）

例1 解：将②代入①，得

3y32y14. 解得

y1. 把y1代入②，得

x4. 经检验，x=4, y=1适合原方程组. 检验可以口算或在草稿纸上演算，以后可以不必写出. x4,所以原方程组的解是 

y1.例2 解：由②，得 x134y. ③

将③代入①，得 2134y3y16. 解得 y2. 将y=2代入③，得 x5. x5,所以原方程组的解是



y2.设计意图：进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程，并能对二元一次方程组的解进行检验. 探索与归纳：

⑴

前面解方程组的方法取个什么名字好? ⑵

解方程组的基本思路是什么？

⑶

解方程组的主要步骤有哪些？

处理方式：由学生自由发挥，集体讨论，然后师生共同总结得出：

代入消元法：在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.

解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：

第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来. 第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程. 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 第四步：回代求出另一个未知数的值. 第五步：把方程组的解表示出来. 第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.

解二元一次方程组的小窍门：

用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形. 设计意图：由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价. 练习提高，熟能生巧

用代入消元法解下列方程组：

x2y4,3x4y19,(1)  (2)  2xy3.x2y3.3x2y7,

⑶

x3

（注意分数线有括号功能）

y0.2处理方式：学生分组解题，互相纠正错误.总结容易错误的地方，老师加以点评. 设计意图：本练习设计注意了问题的开放性，发散了学生思维．在学生争先恐后的抢答中，将本节课的教学推向高潮．对同学的回答，教师要及时给予点评，对回答问题暂时有困难的同学，教师应帮助他们树立信心．

四、回顾课堂、盘点收获

请同学们自我小结本节课所学的知识和方法，和大家一起分享吧！

处理方式：留给学生充分的时间进行交流，让学生畅谈自己的收获.教师要注重对学生的引导、评价，教学生学会反思，学会总结；教师展示本节课的知识点.

1.解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”.

2.解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：

第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来. 第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程. 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值. 第五步：把方程组的解表示出来.

第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立. 设计意图：鼓励学生通过本节课的学习，谈谈自己的收获与感受，加深对

“温故而知新”

的体会，知道“学而时习之”. 五、快乐套餐，深化提高

1．已知x+3y-6=0，用含x的代数式表示y为 ，用含y的代数式表示x

为 . 2.已知方程组2xym1,xyn4的解是x1,y2.则m= ，n=

. 3.用代入消元法解下列方程组：

x2y1,4s3t5,⑴ ⑵

2x3y16;2st5.处理方式：留给学生5～6分钟的时间独立做题，教师巡视，对于不甚明白知识点的学生给予帮助，同时批改完成同学的的检测题，及时收集具有代表性的错误，和好的解题方法. 设计意图：练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步引导学生从不同的图象中获取信息，对同学的回答，教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学，教师应帮助他们树立信心. 六、布置作业，课堂延伸

必做题：习题5.2 第1题；

选做题：习题5.2 第2题；

axby2,x1,拓展题：甲、乙两位同学一同解方程组甲正确解出方程组的解为cx3y2.y1.x2,而乙因为看错了c，得解为试求a，b，c的值. y6.设计意图：作业的设计突出层次性，可更好地调动不同学生的学习热情.满足不同层次学生的需要，另一方面巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况.以便为下一节课的教学做准备．

板书设计: §5.2 求解二元一次方程组(1)

代入消元法:

主要步骤：

例1

例2

学 生 活 动 区

投

影

区