三角形中的角平分线教案公开课一等奖

角平分线

教学任务分析

本节课的教学目标是：

1．知识目标：

（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．

（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．

2．能力目标：

（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．

（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．

（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．

3．情感与价值观要求

（1）能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

（2）在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

4．教学重点、难点

重点

（1）三角形三个内角的平分线的性质．

（2）综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．

难点

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．

教学过程分析

设置情境问题，搭建探究平台

问题1：作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？

于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ．

当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。

展示思维过程，构建探究平台

已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．

证明：P点在∠BAC的角平分线上．

证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．

同理：PE=PF．

∴PD=PF．

∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．

∴△ABC的三条角平分线相交于点P．

在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢? （PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）

例题讲解

例：如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．

(1)已知CD=4 cm，求AC的长；

(2)求证：AB=AC+CD．

分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4cm，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证

AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．

(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，

∠C=90°，DE⊥AB．

∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．

∵∠AC=∠BC

∴∠B=∠BAC(等边对等角)．

∵∠C=90°，

1∴∠B=

×90°=45°．

2∴∠BDE=90°—45°＝45°．

∴BE=DE(等角对等边)．

在等腰直角三角形BDE中

BD=2DE2=42

cm(勾股定理)，

∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．

(2)证明：由(1)的求解过程可知，

Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理) ∴AC=AE．

∵BE=DE=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD．

练习：已知如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足，

∵CF是∠BCE的平分线，

∴FP=FM．

同理：FM=FN．

∴FP=FN．

∴点F在∠DAE的平分线上．

课时小结

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．

课后作业

习题第1、2、3题.