数学活动公开课参赛课教案

24.4 弧长和扇形面积(第1课时) 教学内容

1．n°的圆心角所对的弧长L= 2．扇形的概念；

nR

180nR2 3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=；

360 4．应用以上内容解决一些具体题目．

教学目标

了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．

nR2 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=和扇形面积180nR2S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．

360 重难点、关键

nRnR2 1．重点：n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=及其它们的应用．

180360 2．难点：两个公式的应用．

3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．

教具、学具准备

小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．

教学过程

一、复习引入

（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．

1．圆的周长公式是什么？

2．圆的面积公式是什么？

3．什么叫弧长？

老师点评：（1）圆的周长C=2R 2 （2）圆的面积S图=R （3）弧长就是圆的一部分．

二、探索新知

（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：

1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．

2．1°的圆心角所对的弧长是_______．

3．2°的圆心角所对的弧长是_______．

4．4°的圆心角所对的弧长是_______．

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……

5．n°的圆心角所对的弧长是_______．

（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：

n°的圆心角所对的弧长为nR

360例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即AB的长（结果精确到0.1mm）

A110Owww.czsx.com.c40mmB

分析：要求AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．

解：R=40mm，n=110 ∴AB的长=nR11040=≈76.8（mm）

180180 因此，管道的展直长度约为76.8mm．

问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m•的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:

（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？

学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图: n5www.czsx.com.c

像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．

2 （小黑板），请同学们结合圆心面积S=R的公式，独立完成下题：

1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．

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2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

……

5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

老师检察学生练习情况并点评

125R2nR222 1．360 2．S扇形= 5．S扇形=

R 3．S扇形=R 4．S扇形=360360360360 因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形

nR2S扇形=

360例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求AB的长（•结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）

分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．

6010×10=≈10.5 180360100 S扇形=×102=≈52.3 3606 解：AB的长= 因此，AB的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm．

2 三、巩固练习

课本P122练习．

四、应用拓展

例3．（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

（2）尝试与思考：如图a、b所示，•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．

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ABCODE

(a) (b) （3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n•边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．

解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD•分别交于点M、N，连结OA、OD．

∵四边形ABCD是正方形

∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，

又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN=AD=a 特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．

故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

（2）120°；70°

（3）360S；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是．

nn 五、归纳小结（学生小结，老师点评）

本节课应掌握：

1．n°的圆心角所对的弧长L= 2．扇形的概念．

nR

180nR2 3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=

360 4．运用以上内容，解决具体问题．

六、布置作业

1．教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7．

2．选用课时作业设计．

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