数学活动教案2

第1课时

教学内容

21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．

教学目标

1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．

2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．

教学重点

用“倍数关系”建立数学模型．

教学难点

用“倍数关系”建立数学模型．

教学过程

一、导入新课

问题1：列方程解应用题

下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：

星期

甲

乙

某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？

分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．

解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．

一

12元

13.5元

二

12.5元

13.3元

三

12.9元

13.9元

四

12.45元

13.4元

五

12.75元

13.75元

则x1000(股)0.5x(0.2)y200

解得

0.4x0.6y1300y1500(股)

答：（略）

二、新课教学

上面这道题是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．

问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？

分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是（1＋x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1＋x）＋（1＋x）x＝（1＋x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．

解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝3.31. 去括号，得

1＋1＋x＋1＋2x＋x2＝3.31．

整理，得

x2＋3x－0.31＝0．

解得：x＝10%

答：（略）

以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．

例

某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．

解：设平均增长率为x，则

200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝950．

整理，得

x2＋3x－1.75＝0．

解得：x＝50%

答：所求的增长率为50%．

三、巩固练习

1．填空题．

（1）某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．

（2）某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是________．

（3）我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，•某种药品在2009年涨价30%•后，2011年降价70%•至a•元，则这种药品在2009年涨价前价格是__________．

参考答案（1）6(1＋x)

6(1＋x)2

6＋6(1＋x)＋6(1＋x)2

（2）A(1＋x)2t

（3）100a

392．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其它依此类推．

解：设这种存款方式的年利率为x

则：1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·8%)x·80%＝1320

整理，得：1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0

解得：x1＝－2（不符，舍去），x2＝

答：所求的年利率是12.5%．

四、课堂小结

本节课应掌握：

利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．

五、布置作业

习题21.3 第6题．

1＝0.125＝12.5% 8